Mô phỏng Toán Trung học phổ thông

Kéo điểm M trên đường tròn lượng giác, điểm tương ứng chạy đồng bộ trên đồ thị y = sin x, cos x hoặc tan x. Đường y = m cắt đồ thị cho thấy nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản, các nghiệm được đánh dấu cả trên đường tròn lẫn đồ thị kèm công thức nghiệm tổng quát.

Vẽ hoặc sửa một đồ thị (đỉnh là vùng đất, cạnh là cây cầu) và xem ngay bậc của từng đỉnh, tổng bậc bằng hai lần số cạnh và kết luận theo số đỉnh bậc lẻ: có chu trình Euler, có đường đi Euler hay không có. Tự chạm từng cạnh để thử đi qua mỗi cạnh đúng một lần, hoặc cho thuật toán Fleury (tránh cầu) hay Hierholzer (ghép vòng) chạy từng bước để tìm đường.

Kéo điểm M trên vòng tròn lượng giác bán kính 1 để đổi góc lượng giác θ; tam giác tham chiếu và đoạn tang trên đường tiếp tuyến hiện ngay sin, cos, tan của θ. Góc đo bằng độ hoặc radian, tính cả số vòng quay khi kéo quá 360°/−360°. Đồ thị bên cạnh vẽ đúng hàm sin, cos hoặc tan theo góc với chấm chỉ thị chạy đồng bộ, kéo trực tiếp được trên đồ thị. Bật gắn góc đặc biệt để điểm tự hút vào 30°, 45°, 60°... và xem giá trị lượng giác đúng dạng căn thức. Phỏng theo mô phỏng "Trig Tour" của PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder (CC BY 4.0); đã viết lại.

Đồ thị y = aˣ và y = logₐx đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. Kéo điểm M trên đồ thị hàm mũ, điểm đối xứng M' chạy trên đồ thị hàm lôgarit; kéo thanh a để thấy hàm đồng biến khi a > 1, nghịch biến khi 0 < a < 1. Chế độ ứng dụng minh hoạ tăng trưởng dân số và phân rã phóng xạ, dùng lôgarit để tìm thời gian gấp đôi hoặc chu kỳ bán rã.

Hình hộp ABCD.A'B'C'D' xoay được bằng chuột hoặc ngón tay. Ba điểm M ∈ AB, N ∈ AD, P ∈ CC' kéo được dọc cạnh; mô phỏng dựng thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (MNP), tô màu đa giác thiết diện và chỉ ra các cặp giao tuyến song song trên hai mặt đối diện.

Hệ trục Oxyz xoay được bằng chuột hoặc ngón tay với hai vectơ u và v có toạ độ cho trước. Mô phỏng vẽ hình hộp toạ độ của từng vectơ, hình bình hành tổng u + v, tính độ dài, tích vô hướng u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ và góc giữa hai vectơ; kéo các thanh toạ độ để thấy khi nào u ⊥ v hoặc cùng phương.

Chế độ dãy số: các điểm (n; uₙ) tiến về đường thẳng y = L, dải L ± ε kéo được cho thấy từ chỉ số N₀ trở đi mọi số hạng đều nằm trong dải. Chế độ hàm số: kéo điểm x tiến về x₀ từ hai phía, xem f(x) tiến về giới hạn trái/phải, nhận biết hàm gián đoạn hoặc không xác định tại x₀ và kết luận về tính liên tục.

Vẽ miền nghiệm của hệ tối đa 3 bất phương trình dạng ax + by ≤ c (hoặc ≥, <, >) trên mặt phẳng toạ độ. Học sinh kéo điểm P để kiểm tra P có thuộc miền nghiệm không, kéo từng đường thẳng biên để đổi hằng số c, và bấm 'Hiện đỉnh' để thấy giá trị F = ax + by tại các đỉnh của miền, đỉnh đạt lớn nhất/nhỏ nhất được đánh dấu.

Mẫu số liệu vẽ thành biểu đồ chấm trên trục số; học sinh kéo từng điểm (hoặc bấm 'Ngẫu nhiên') và thấy số trung bình, trung vị, tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃, mốt, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn cập nhật tức thì. Biểu đồ hộp vẽ phía dưới, giá trị bất thường (ngoài [Q₁ − 1,5ΔQ; Q₃ + 1,5ΔQ]) đánh dấu ×; kéo một điểm ra rất xa để thấy trung bình đổi mạnh còn trung vị hầu như không đổi.

Đồ thị y = ax² + bx + c với một điểm M chạy trên parabol. Kéo M bằng chuột hoặc ngón tay; tiếp tuyến tại M vẽ theo hệ số góc y'(x) = 2ax + b, hiện tọa độ M, hệ số góc và phương trình tiếp tuyến.

n vật đánh chữ A, B, C… nằm trên hàng; học sinh bấm để chọn k vật (có thứ tự hoặc không) và so với danh sách liệt kê đầy đủ mọi cách chọn. Số cách tính theo công thức Pₙ = n!, Aₙᵏ = n!/(n − k)!, Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!) kèm tích khai triển; tam giác Pascal vẽ phía dưới với ô Cₙᵏ được tô, cho thấy Cₙᵏ = Cₙ₋₁ᵏ⁻¹ + Cₙ₋₁ᵏ.

Vẽ số liệu thực tế trên trục thường, trục nửa lôgarit (log y theo x) và trục lôgarit – lôgarit (log y theo log x): y = a·bˣ thành đường thẳng trên trục nửa lôgarit, y = a·xⁿ thành đường thẳng trên trục lôgarit – lôgarit. Đọc hệ số góc và tung độ gốc để tìm a, b, n, tự kéo đường thẳng và xem phần dư. Màn Thang lôgarit so sánh độ lớn động đất, mức cường độ âm (dB) và pH, nơi các bước bằng nhau là các tỉ số bằng nhau.

Kéo góc trên đường tròn đơn vị và trên hình hai tam giác vuông chồng nhau để kiểm chứng sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = 1/cos²θ, 1 + cot²θ = 1/sin²θ, công thức cộng sin(α ± β), cos(α ± β), tan(α ± β) và công thức nhân đôi bằng hình và bằng số. Màn a cos θ + b sin θ gộp hai sóng thành R cos(θ − α) hoặc R sin(θ + α); màn Kiểm tra đẳng thức vẽ hai vế của một đẳng thức em nhập để xem nó có đúng với mọi x.

Bài toán xét nghiệm y khoa: tỉ lệ mắc bệnh, độ nhạy P(+|bệnh) và độ đặc hiệu P(−|khỏe) cho trước. Sơ đồ cây, bảng 2×2 trên N người và lưới 1000 chấm màu cho thấy vì sao xác suất thực sự mắc bệnh khi xét nghiệm dương tính P(bệnh|+) thường thấp hơn nhiều so với độ nhạy; kéo các thanh để thấy công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes thay đổi.

Hai vectơ u, v vẽ từ gốc O trên lưới toạ độ; học sinh kéo ngọn của u, v (bắt vào lưới) và chọn phép toán. Tổng theo quy tắc hình bình hành, hiệu u − v nối ngọn v tới ngọn u, tích k·u cùng phương, tích vô hướng u·v = |u||v|cos(u, v) = x₁x₂ + y₁y₂ với góc và hình chiếu hiện rõ; toạ độ và số liệu cập nhật tức thì.

Trong hệ trục Oxyz xoay được, mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu tâm I bán kính R được vẽ cùng vectơ pháp tuyến n = (A; B; C) và đoạn vuông góc IH. Mô phỏng tính d(I, (P)) theo công thức khoảng cách rồi so với R để kết luận mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn (vẽ đường tròn giao, bán kính r = √(R² − d²)), tiếp xúc hay không cắt.

Hàm phân thức y = (ax + b)/(cx + d) hoặc y = (ax² + bx + c)/(x + d): kéo hệ số để xem tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên xuất hiện hay biến mất. Bảng giá trị khi x tiến tới nghiệm mẫu và khi x ra vô cực giải thích vì sao đó là tiệm cận.

Hai mẫu số liệu có cùng số trung bình nhưng độ phân tán khác nhau được ghép nhóm và vẽ chồng lên nhau. Kéo thanh σ của từng mẫu để thấy biểu đồ dẹt ra hay tập trung lại; mô phỏng tính khoảng biến thiên, tứ phân vị Q₁, Q₃, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn theo công thức ghép nhóm rồi so sánh hai mẫu.

Kéo để uốn đồ thị hàm số f(x) bằng các công cụ đồi, tam giác, parabol, hình sin, vẽ tự do, dịch và nghiêng, rồi xem đồ thị đạo hàm f′(x), đạo hàm cấp hai f″(x) và nguyên hàm F(x) = C + tích phân của f từ x₀ cập nhật ngay. Đường tham chiếu cho tiếp tuyến, giá trị f, f′, F và phần diện tích tô màu; màn thực hành cho học sinh tự vẽ dự đoán f′ hoặc F rồi so sánh với đáp án. Phỏng theo mô phỏng "Calculus Grapher" của PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder (CC BY 4.0); đã viết lại.

Diện tích hình thang cong dưới đồ thị y = f(x) trên [a; b] được xấp xỉ bằng n hình chữ nhật (trái, phải, giữa) hoặc hình thang. Tăng n bằng nút hoặc thanh trượt để thấy tổng Sₙ tiến về giá trị tích phân ∫f(x)dx tính bằng nguyên hàm; kéo hai mút a, b ngay trên đồ thị. Chọn hàm v(t) để thấy quãng đường đi được là tích phân của vận tốc.

Hình chóp đều S.ABCD (hoặc S.ABC) xoay được bằng chuột hoặc ngón tay. Mô phỏng dựng hình chiếu của cạnh bên SA (hoặc trung đoạn SM) lên mặt đáy, tô góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, hiện tan của góc theo chiều cao và cạnh đáy; đồng thời dựng khoảng cách từ S đến đáy và từ tâm O đến mặt bên (SBC).

Cùng một tiêu điểm và một đường chuẩn, chỉ đổi tâm sai e: e < 1 cho elip, e = 1 cho parabol, e > 1 cho hypebol. Mô phỏng vẽ đường conic, đánh dấu tiêu điểm, trục và cho kiểm chứng tính chất MF = e·d(M, Δ) tại điểm M kéo được trên đường.

Kéo điểm P để đổi qua lại giữa toạ độ cực (r; θ) và toạ độ Descartes (x; y), xem các cách viết khác của cùng một điểm và dạng lượng giác của số phức. Vẽ đồ thị r = f(θ) (đường hoa hồng, ốc sên Pascal, đường hình tim, đường tròn, xoắn ốc Archimedes, lemniscate) khi θ quét dần, song song với đồ thị r theo θ, kèm dr/dθ, hệ số góc tiếp tuyến dy/dx và chỗ r tăng, r giảm. Màn diện tích tính ½∫r²dθ giữa hai tia và so với tổng các hình quạt tròn.

Kéo hai số phức z và w trên mặt phẳng phức để thấy z + w là phép cộng vectơ, zw là phép quay góc arg w kèm phóng to |w| lần, cùng phép chia z/w, số phức liên hợp và khoảng cách |z − w|; mọi kết quả hiện ở dạng đại số, dạng lượng giác và dạng mũ re^(iθ). Màn Moivre vẽ luỹ thừa zⁿ trên một đường xoắn và n căn bậc n thành một đa giác đều. Màn Nghiệm cho thấy cặp nghiệm phức liên hợp xuất hiện khi parabol rời trục Ox (Δ < 0), và nghiệm của đa thức bậc ba.