Toạ độ cực và đồ thị cực – đổi toạ độ, đường hoa hồng, ốc sên, xoắn ốc, diện tích

Trong toạ độ cực, điểm P được xác định bởi khoảng cách r tới cực O và góc θ mà tia OP hợp với trục cực, đo ngược chiều kim đồng hồ; x = r cos θ, y = r sin θ. Mô phỏng cho kéo điểm P để đổi qua lại giữa toạ độ cực (r; θ) và toạ độ Descartes (x; y), xem các cách viết khác của cùng một điểm (thêm một vòng, hoặc r âm) và dạng lượng giác z = r(cos θ + i sin θ) của số phức. Màn đồ thị vẽ r = f(θ) khi θ quét dần: đường hoa hồng, ốc sên Pascal, đường hình tim, đường tròn, xoắn ốc Archimedes, lemniscate. Đồ thị cực được đặt cạnh đồ thị r theo θ: đoạn r tăng tô xanh, r giảm tô đỏ, phần r < 0 vẽ nét đứt ở tia đối. Ô số đo cho dr/dθ, cho biết điểm đang ra xa hay lại gần cực, và hệ số góc tiếp tuyến dy/dx = (r′ sin θ + r cos θ)/(r′ cos θ − r sin θ). Màn diện tích tô vùng do bán kính quét giữa hai tia α, β, tính A = ½∫r² dθ và so với tổng các hình quạt tròn. Ba nhiệm vụ tự chấm: đặt điểm theo toạ độ cực, đổi một điểm sang toạ độ cực, chọn α, β bao đúng một cánh hoa. Câu hỏi gợi ý: – Vì sao r = 3 cos 2θ có bốn cánh còn r = 3 cos 3θ chỉ có ba cánh? – Khi r âm và đang giảm, điểm đang ra xa hay lại gần cực? – Vì sao tổng các hình quạt ½ r² Δθ càng gần diện tích khi số hình quạt tăng?