Máy vẽ đồ thị vi tích phân – f, f′, f″ và nguyên hàm

Đạo hàm và nguyên hàm (Toán 11–12) thường bị học như hai bảng công thức rời rạc. Mô phỏng này đặt đồ thị f(x), đồ thị đạo hàm f′(x), đạo hàm cấp hai f″(x) và nguyên hàm F(x) chồng dọc cùng một trục hoành để học sinh thấy mối liên hệ trực tiếp: dấu của f′ là chiều biến thiên của f, f′ = 0 tại điểm cực trị, dấu của f″ cho độ lồi lõm, còn F tăng ở nơi f dương và giảm ở nơi f âm. Màn Đạo hàm cho uốn đồ thị f bằng bảy công cụ (đồi, tam giác, parabol, hình sin, vẽ tự do, dịch lên xuống, nghiêng) và xem f′, f″ thay đổi theo. Màn Tích phân cho chọn mốc x₀ và hằng số C, xem F(x) = C + ∫ f(t)dt và phần diện tích có dấu tô màu giữa x₀ và điểm a. Màn Nâng cao hiện cả ba đồ thị cùng đường tham chiếu: kéo điểm a để đọc f(a), f′(a), f″(a), tích phân từ x₀ đến a và quan sát tiếp tuyến có hệ số góc bằng f′(a). Màn Thực hành dự đoán cho học sinh tự vẽ nét dự đoán của f′ hoặc F rồi bấm so sánh để nhận độ khớp phần trăm. Đạo hàm được tính bằng sai phân trung tâm trên lưới 801 điểm và nguyên hàm bằng quy tắc hình thang nên với f = sin x thu được f′ ≈ cos x và F ≈ −cos x + C với sai số dưới 1 %. Phù hợp cho bài Khảo sát sự biến thiên, Nguyên hàm và Tích phân khi giáo viên muốn cho học sinh đoán trước rồi kiểm chứng. Câu hỏi gợi ý: – Trên khoảng nào f′ dương, và đồ thị f ở đó đi lên hay đi xuống? – Khi đổi hằng số C, đồ thị F thay đổi thế nào và đồ thị f có đổi không? Vì sao? – Tại điểm nào của f hàm f′ đổi dấu, và f″ có dấu gì ở điểm cực đại?