Mô phỏng Toán Trung học phổ thông

n vật đánh chữ A, B, C… nằm trên hàng; học sinh bấm để chọn k vật (có thứ tự hoặc không) và so với danh sách liệt kê đầy đủ mọi cách chọn. Số cách tính theo công thức Pₙ = n!, Aₙᵏ = n!/(n − k)!, Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!) kèm tích khai triển; tam giác Pascal vẽ phía dưới với ô Cₙᵏ được tô, cho thấy Cₙᵏ = Cₙ₋₁ᵏ⁻¹ + Cₙ₋₁ᵏ.

Đồ thị y = ax² + bx + c với một điểm M chạy trên parabol. Kéo M bằng chuột hoặc ngón tay; tiếp tuyến tại M vẽ theo hệ số góc y'(x) = 2ax + b, hiện tọa độ M, hệ số góc và phương trình tiếp tuyến.

Bắn nhiều lần cùng một vật và ghi lại tầm xa của từng lần để tạo một mẫu số liệu lớn. Học sinh ghép nhóm dữ liệu thành biểu đồ tần số rồi tính số trung bình, trung vị của mẫu ghép nhóm. Mô phỏng của PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, giấy phép CC BY 4.0 (https://phet.colorado.edu); cần mạng để tải.

Đồ thị parabol y = ax² + bx + c với ba thanh trượt a, b, c ngay trong mô phỏng; học sinh cũng có thể kéo trực tiếp đỉnh I để đổi b, c. Toạ độ đỉnh I(−b/2a; −Δ/4a), trục đối xứng x = −b/2a, giao điểm với hai trục, Δ và bảng biến thiên (mũi tên lên/xuống theo dấu a) vẽ tự động và cập nhật tức thì.

Sơ đồ Venn với diện tích tỉ lệ xác suất: kéo biến cố B lại gần hoặc ra xa A để đổi P(AB), thấy ngay P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB), khi nào hai biến cố xung khắc, khi nào độc lập. Sơ đồ cây hai bước hiện P(B|A), P(B|Ā) và các xác suất giao; nút gieo ngẫu nhiên so tần suất thực nghiệm với xác suất lí thuyết.

Chỉnh các hệ số a, b, c bằng thanh trượt và quan sát parabol đổi bề rộng, chiều quay, vị trí đỉnh. Học sinh hiện đỉnh, trục đối xứng, nghiệm để nối công thức với hình dạng đồ thị. Mô phỏng của PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, giấy phép CC BY 4.0 (https://phet.colorado.edu); cần mạng để tải.

Kéo các vectơ lên mặt phẳng toạ độ và xem vectơ tổng được dựng theo quy tắc hình bình hành. Học sinh đọc độ dài, góc, hoành độ và tung độ của từng vectơ thành phần và của vectơ tổng. Mô phỏng của PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, giấy phép CC BY 4.0 (https://phet.colorado.edu); cần mạng để tải.

Chọn hai đường và xem miền phẳng giữa chúng được tô. Mô phỏng chia miền bằng các dải hẹp để thấy ∫(f − g)dx chính là tổng diện tích các dải khi số dải tăng, đồng thời cảnh báo trường hợp hai đồ thị đổi vai trò trên–dưới trong đoạn nên phải tách tích phân theo dấu của f − g.

Hai mẫu số liệu có cùng số trung bình nhưng độ phân tán khác nhau được ghép nhóm và vẽ chồng lên nhau. Kéo thanh σ của từng mẫu để thấy biểu đồ dẹt ra hay tập trung lại; mô phỏng tính khoảng biến thiên, tứ phân vị Q₁, Q₃, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn theo công thức ghép nhóm rồi so sánh hai mẫu.

Bài toán xét nghiệm y khoa: tỉ lệ mắc bệnh, độ nhạy P(+|bệnh) và độ đặc hiệu P(−|khỏe) cho trước. Sơ đồ cây, bảng 2×2 trên N người và lưới 1000 chấm màu cho thấy vì sao xác suất thực sự mắc bệnh khi xét nghiệm dương tính P(bệnh|+) thường thấp hơn nhiều so với độ nhạy; kéo các thanh để thấy công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes thay đổi.

Trong hệ trục Oxyz xoay được, mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu tâm I bán kính R được vẽ cùng vectơ pháp tuyến n = (A; B; C) và đoạn vuông góc IH. Mô phỏng tính d(I, (P)) theo công thức khoảng cách rồi so với R để kết luận mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn (vẽ đường tròn giao, bán kính r = √(R² − d²)), tiếp xúc hay không cắt.

Liệt kê toàn bộ không gian mẫu Ω khi tung 2–3 đồng xu hoặc 1–2 con xúc xắc (bảng 6 × 6 với mặt xúc xắc vẽ chấm). Học sinh chọn biến cố có sẵn hoặc bấm từng kết quả để tự tạo biến cố A, thấy n(A), n(Ω) và P(A) = n(A)/n(Ω); bấm 'Tung N lần' để tần suất thực nghiệm chạy dần về xác suất lí thuyết.

Diện tích hình thang cong dưới đồ thị y = f(x) trên [a; b] được xấp xỉ bằng n hình chữ nhật (trái, phải, giữa) hoặc hình thang. Tăng n bằng nút hoặc thanh trượt để thấy tổng Sₙ tiến về giá trị tích phân ∫f(x)dx tính bằng nguyên hàm; kéo hai mút a, b ngay trên đồ thị. Chọn hàm v(t) để thấy quãng đường đi được là tích phân của vận tốc.

Hệ trục Oxyz xoay được bằng chuột hoặc ngón tay với hai vectơ u và v có toạ độ cho trước. Mô phỏng vẽ hình hộp toạ độ của từng vectơ, hình bình hành tổng u + v, tính độ dài, tích vô hướng u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ và góc giữa hai vectơ; kéo các thanh toạ độ để thấy khi nào u ⊥ v hoặc cùng phương.

Giải sin x = m, cos x = m hoặc tan x = m bằng đường tròn lượng giác: mô phỏng chỉ ra các điểm ngọn thỏa mãn, đối chiếu với đồ thị hàm số và viết đủ họ nghiệm x = α + k2π (hoặc π − α + k2π, α + kπ). Đổi m để thấy khi nào phương trình vô nghiệm.

Ba chuyên đề học tập của Toán 12 trong một mẫu, chọn bằng tham số chuyên đề. Biến ngẫu nhiên rời rạc: tung n đồng xu hàng nghìn lần, so cột tần suất thực nghiệm với bảng phân bố xác suất lí thuyết, tính kì vọng và phương sai. Ứng dụng toán học trong tài chính: so sánh lãi đơn với lãi kép A = P(1+r)^n và tính khoản trả góp hằng tháng của một khoản vay. Bài toán tối ưu: kéo cạnh ô vuông cắt ở bốn góc tấm bìa để gấp hộp không nắp, xem đồ thị thể tích V(x) = x(a−2x)² và tìm giá trị lớn nhất bằng đạo hàm.

Hai hoặc ba tập hợp A, B, C vẽ bằng biểu đồ Ven trong tập U = {1; 2; …; N}, mỗi phần tử nằm đúng vùng của nó. Học sinh bấm nút phép toán (hợp, giao, hiệu, phần bù) hoặc bấm trực tiếp từng vùng để tô; danh sách phần tử và số phần tử n(·) của kết quả hiện ngay, kèm công thức n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).

Kéo a, b, c để đổi parabol y = ax² + bx + c và đọc ngay bảng xét dấu tương ứng. Mô phỏng tô xanh phần đồ thị nằm trên trục hoành, tô đỏ phần nằm dưới, nên thấy rõ vì sao dấu của f(x) chỉ phụ thuộc dấu của a và vị trí của Δ so với 0.

Hàm phân thức y = (ax + b)/(cx + d) hoặc y = (ax² + bx + c)/(x + d): kéo hệ số để xem tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên xuất hiện hay biến mất. Bảng giá trị khi x tiến tới nghiệm mẫu và khi x ra vô cực giải thích vì sao đó là tiệm cận.

Đồ thị y = ax³ + bx² + cx + d hoặc y = (ax + b)/(cx + d) vẽ cùng bảng biến thiên tự lập theo dấu của y'. Kéo điểm M trên đồ thị để thấy tiếp tuyến, dấu đạo hàm và khoảng đơn điệu đang xét; đổi hệ số để cực trị xuất hiện hoặc biến mất, tiệm cận đứng và ngang dịch chuyển theo hệ số.