Tích phân là giới hạn của tổng diện tích hình chữ nhật

Định nghĩa tích phân trong chương Nguyên hàm và tích phân (Toán 12) trở nên cụ thể khi học sinh thấy diện tích hình thang cong được "lấp đầy" dần bằng các hình chữ nhật. Học sinh chọn hàm f(x) = x², sin x + 1, x³ − 3x + 3 hoặc vận tốc v(t) = 2t + 1, đặt hai cận a, b (từ −3 đến 5) và số hình chữ nhật n từ 1 đến 200. Chiều cao mỗi hình lấy tại đầu mút trái, đầu mút phải, điểm giữa, hoặc thay bằng hình thang. Khi n tăng, tổng Sₙ tiến dần về giá trị tích phân tính bằng nguyên hàm; với hàm đồng biến, tổng theo đầu mút trái cho giá trị thiếu, đầu mút phải cho giá trị thừa. Chọn v(t) để hiểu quãng đường đi được là tích phân của vận tốc theo thời gian. Câu hỏi gợi ý: – Với f(x) = x² trên [0; 2], vì sao tổng trái luôn nhỏ hơn tích phân? – Cách chọn điểm giữa hay hình thang hội tụ nhanh hơn? – Nếu f(x) âm trên [a; b], tổng Sₙ mang dấu gì?