Số phức trên mặt phẳng phức – phép toán, dạng lượng giác, công thức Moivre

Mô phỏng mở rộng chủ đề Vectơ (Toán 10) sang số phức: mỗi số z = a + bi (i² = −1) là một điểm, cũng là một vectơ từ gốc O, trên mặt phẳng phức (sơ đồ Argand) với trục thực nằm ngang và trục ảo thẳng đứng. Môđun |z| là độ dài vectơ, acgumen arg z là góc với chiều dương trục thực, từ đó có dạng lượng giác r(cos θ + i sin θ) và dạng mũ re^(iθ) theo công thức Euler. Phép cộng là cộng vectơ theo quy tắc hình bình hành; phép nhân nhân các môđun và cộng các acgumen, tức là quay và phóng to; phép chia làm ngược lại; số phức liên hợp là phép đối xứng qua trục thực; |z − w| là khoảng cách giữa hai điểm. Ở màn Phép toán, kéo hai chấm z và w hoặc dùng thanh trượt, chọn phép tính và bấm Diễn hoạt để xem z trượt, quay hay co giãn thành kết quả; các nút w = i, w = −1, w = 2 cho thấy nhân với i là quay 90°. Phần thông tin viết đủ phép tính ở dạng đại số, môđun, acgumen và dạng mũ. Màn Moivre vẽ các luỹ thừa z, z², …, zⁿ trên một đường xoắn theo công thức [r(cos θ + i sin θ)]ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ), và n căn bậc n của một số c thành đa giác đều nội tiếp đường tròn bán kính ⁿ√|c|. Màn Nghiệm nối đồ thị y = ax² + bx + c với mặt phẳng phức: khi kéo đỉnh parabol lên khỏi trục Ox, biệt thức Δ chuyển sang âm và hai nghiệm thực nhập lại rồi tách thành cặp liên hợp p ± qi; đa thức bậc ba luôn có ít nhất một nghiệm thực. Câu hỏi gợi ý: – Nhân một số phức với i bốn lần liên tiếp thì điểm đó đi đâu, và vì sao? – Vì sao các căn bậc n của 1 luôn là đỉnh của một đa giác đều có tổng bằng 0? – Khi nâng dần parabol y = x² − 2x + c, phần thực của hai nghiệm phức có đổi không, còn phần ảo thì sao?