Vectơ trong hệ trục toạ độ Oxyz: tổng, tích vô hướng, góc

Chuyển từ mặt phẳng lên không gian là bước khó của chương "Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian" (Toán 12). Hệ trục Oxyz xoay được bằng chuột hoặc ngón tay giúp học sinh vượt qua hạn chế của hình vẽ phẳng trên giấy. Học sinh chỉnh ba toạ độ của mỗi vectơ u và v trong khoảng từ −5 đến 5. Mỗi vectơ đi kèm hình hộp toạ độ, cho thấy toạ độ chính là độ dài có dấu theo ba trục. Hình bình hành dựng vectơ tổng u + v, cùng độ dài từng vectơ, tích vô hướng u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ và góc giữa hai vectơ được tính tức thì. Kéo các thanh toạ độ để tìm lúc u·v = 0 (hai vectơ vuông góc) hoặc lúc toạ độ tỉ lệ (cùng phương). Câu hỏi gợi ý: – Với u = (3; 1; 2), tìm một vectơ v vuông góc với u. – Độ dài vectơ u được tính từ toạ độ thế nào? – Hai vectơ trông vuông góc trên màn hình có chắc vuông góc không?