Mô phỏng Toán Lớp 10

Vẽ miền nghiệm của hệ tối đa 3 bất phương trình dạng ax + by ≤ c (hoặc ≥, <, >) trên mặt phẳng toạ độ. Học sinh kéo điểm P để kiểm tra P có thuộc miền nghiệm không, kéo từng đường thẳng biên để đổi hằng số c, và bấm 'Hiện đỉnh' để thấy giá trị F = ax + by tại các đỉnh của miền, đỉnh đạt lớn nhất/nhỏ nhất được đánh dấu.

Mẫu số liệu vẽ thành biểu đồ chấm trên trục số; học sinh kéo từng điểm (hoặc bấm 'Ngẫu nhiên') và thấy số trung bình, trung vị, tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃, mốt, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn cập nhật tức thì. Biểu đồ hộp vẽ phía dưới, giá trị bất thường (ngoài [Q₁ − 1,5ΔQ; Q₃ + 1,5ΔQ]) đánh dấu ×; kéo một điểm ra rất xa để thấy trung bình đổi mạnh còn trung vị hầu như không đổi.

n vật đánh chữ A, B, C… nằm trên hàng; học sinh bấm để chọn k vật (có thứ tự hoặc không) và so với danh sách liệt kê đầy đủ mọi cách chọn. Số cách tính theo công thức Pₙ = n!, Aₙᵏ = n!/(n − k)!, Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!) kèm tích khai triển; tam giác Pascal vẽ phía dưới với ô Cₙᵏ được tô, cho thấy Cₙᵏ = Cₙ₋₁ᵏ⁻¹ + Cₙ₋₁ᵏ.

Hai vectơ u, v vẽ từ gốc O trên lưới toạ độ; học sinh kéo ngọn của u, v (bắt vào lưới) và chọn phép toán. Tổng theo quy tắc hình bình hành, hiệu u − v nối ngọn v tới ngọn u, tích k·u cùng phương, tích vô hướng u·v = |u||v|cos(u, v) = x₁x₂ + y₁y₂ với góc và hình chiếu hiện rõ; toạ độ và số liệu cập nhật tức thì.

Cùng một tiêu điểm và một đường chuẩn, chỉ đổi tâm sai e: e < 1 cho elip, e = 1 cho parabol, e > 1 cho hypebol. Mô phỏng vẽ đường conic, đánh dấu tiêu điểm, trục và cho kiểm chứng tính chất MF = e·d(M, Δ) tại điểm M kéo được trên đường.

Kéo hai số phức z và w trên mặt phẳng phức để thấy z + w là phép cộng vectơ, zw là phép quay góc arg w kèm phóng to |w| lần, cùng phép chia z/w, số phức liên hợp và khoảng cách |z − w|; mọi kết quả hiện ở dạng đại số, dạng lượng giác và dạng mũ re^(iθ). Màn Moivre vẽ luỹ thừa zⁿ trên một đường xoắn và n căn bậc n thành một đa giác đều. Màn Nghiệm cho thấy cặp nghiệm phức liên hợp xuất hiện khi parabol rời trục Ox (Δ < 0), và nghiệm của đa thức bậc ba.

Bốn màn hình khám phá số trung bình cộng: San bằng rót nước giữa các cốc thông nhau để thấy mực nước tiến về đúng mức trung bình; Chia kẹo chia lại kẹo nguyên viên giữa các đĩa và nhận ra trung bình không phải lúc nào cũng là số nguyên; Chia táo cắt táo dư thành phân số để chia công bằng tuyệt đối; Điểm cân bằng đặt điểm tựa trên trục số sao cho tổng độ lệch có dấu bằng 0. Học sinh kéo thả mực nước, kẹo, miếng táo và điểm tựa, xem số liệu cập nhật theo đúng công thức x̄ = (Σxᵢ)/n. Phỏng theo mô phỏng "Mean: Share and Balance" của PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder (CC BY 4.0); đã viết lại.

Kéo vectơ từ khay thả vào lưới toạ độ, dựng vectơ tổng theo quy tắc ba điểm hoặc hình bình hành; đọc toạ độ, độ dài, góc theo hệ Đề-các hoặc cực. Bốn màn hình: trên đường thẳng (cộng hai số có dấu), trên mặt phẳng (kéo-thả, dựng tổng), phòng thí nghiệm (so sánh hai tổng độc lập) và phương trình (tổ hợp tuyến tính w = a·u ± b·v với hệ số chỉnh bằng nút tăng/giảm). Phỏng theo mô phỏng "Vector Addition" và "Vector Addition: Equations" của PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder (CC BY 4.0); đã viết lại.

Đo bề rộng một con sông mà không cần qua sông: đo đoạn AB trên bờ và hai góc nhìn tới cây C bên kia, dùng định lí sin để tính. Bốn bài toán khác cho kéo đỉnh tam giác và chọn yếu tố đã biết (ba cạnh; hai cạnh và góc xen giữa; một cạnh và hai góc; hai cạnh và góc không xen giữa với 0, 1 hoặc 2 nghiệm), từng bước giải hiện kèm số.

Tam giác ABC dựng từ hai cạnh a, b và góc xen giữa C; học sinh kéo ba đỉnh tuỳ ý. Mọi cạnh, góc hiện trực tiếp cùng kiểm chứng số: c² = a² + b² − 2ab·cosC, a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R, diện tích S = ½ab·sinC = √(p(p−a)(p−b)(p−c)) = abc/4R = pr. Tuỳ chọn hiện đường tròn ngoại tiếp (bán kính R) và đường cao.

Bốn màn hình dùng bối cảnh đá bóng ở sân trường để khám phá số trung bình, trung vị và các số đo độ phân tán của một mẫu số liệu. Màn hình Trung vị: bóng được đá lên trục quãng đường, học sinh dự đoán trung vị bằng mũi tên trước khi xem đáp số đúng. Màn hình Trung bình & Trung vị: các cú đá đặt trên một thanh bập bênh, kéo điểm tựa để tìm số trung bình rồi so với vạch trung vị cố định, thấy trung bình đổi liên tục còn trung vị chỉ nhảy bậc. Màn hình Độ phân tán: so sánh hai nhóm học sinh đá bóng theo khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị (biểu đồ hộp), phương sai và độ lệch chuẩn. Màn hình Phòng thí nghiệm: tự thêm/xoá từng cú đá và xem mọi số đặc trưng cập nhật tức thì. Phỏng theo mô phỏng "Center and Variability" của PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder (CC BY 4.0); đã viết lại.

Liệt kê toàn bộ không gian mẫu Ω khi tung 2–3 đồng xu hoặc 1–2 con xúc xắc (bảng 6 × 6 với mặt xúc xắc vẽ chấm). Học sinh chọn biến cố có sẵn hoặc bấm từng kết quả để tự tạo biến cố A, thấy n(A), n(Ω) và P(A) = n(A)/n(Ω); bấm 'Tung N lần' để tần suất thực nghiệm chạy dần về xác suất lí thuyết.

Đồ thị parabol y = ax² + bx + c với ba thanh trượt a, b, c ngay trong mô phỏng; học sinh cũng có thể kéo trực tiếp đỉnh I để đổi b, c. Toạ độ đỉnh I(−b/2a; −Δ/4a), trục đối xứng x = −b/2a, giao điểm với hai trục, Δ và bảng biến thiên (mũi tên lên/xuống theo dấu a) vẽ tự động và cập nhật tức thì.

Phương vị ba chữ số đo từ hướng bắc theo chiều kim đồng hồ và phương vị ngược (±180°). Màn Hành trình vẽ theo tỉ lệ một đường đi gồm 1–3 chặng (phương vị và quãng đường), tính quãng đường và phương vị quay về điểm xuất phát bằng định lí côsin, định lí sin hoặc thành phần đông – bắc; kéo trên bản đồ để đo. Có thử thách lái tàu tới đảo và màn góc nâng, góc hạ với ngọn hải đăng và thuyền.

Bốn màn hình: Khám phá (kéo thanh trượt a, b, c, tách riêng từng hạng tử ax², bx, c), Tổng quát (hệ số nguyên đổi bằng nút bấm, bật/tắt đỉnh, trục đối xứng, nghiệm, giao Oy), Dạng đỉnh (kéo trực tiếp điểm đỉnh để đổi h, k) và Tiêu điểm - đường chuẩn mở rộng (kéo tiêu điểm và một điểm trên parabol để thấy hai khoảng cách luôn bằng nhau). Phỏng theo mô phỏng "Graphing Quadratics" của PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder (CC BY 4.0); đã viết lại.

Đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 với vectơ pháp tuyến n = (a; b) và vectơ chỉ phương u = (−b; a) vẽ ngay trên hình; đường tròn (C) tâm I bán kính R. Học sinh kéo tâm I, kéo điểm M tự do, hoặc kéo cả đường thẳng; khoảng cách d(I, Δ), d(M, Δ) tính theo công thức |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²), vị trí tương đối của Δ và (C) (cắt, tiếp xúc, không cắt) cùng giao điểm, góc giữa Δ với Ox và với IM hiện tức thì.

Ba chuyên đề học tập của Toán 10 trong một mẫu, chọn bằng tham số chuyên đề. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn: bấm từng bước khử Gauss trên ma trận, thấy hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hay vô số nghiệm. Quy nạp và nhị thức Newton: tam giác Pascal bấm được từng ô để thấy quy tắc cộng và khai triển (a+b)^n, kèm hình bậc thang chứng minh 1+2+…+n = n(n+1)/2. Ba đường conic: kéo điểm M trên đường, kiểm tra MF = e·d(M, Δ) và xem elip, parabol, hypebol đổi theo tâm sai e.

Chọn hai tập hợp nhỏ A và B, xem A × B như một lưới các cặp có thứ tự; chạm vào các cặp (hoặc kéo mũi tên) để tạo một quan hệ được biểu diễn cùng lúc bằng đồ thị, sơ đồ mũi tên, tập các cặp có thứ tự và bảng, kèm tập xác định, tập đích và tập giá trị. Mô phỏng kiểm tra quan hệ có phải là hàm số không, hàm số có là đơn ánh, toàn ánh, song ánh không; trên một tập hợp, mô phỏng kiểm tra tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu bằng ma trận 0–1 và chỉ ra các lớp của quan hệ tương đương.

Xem cùng lúc bảng giá trị, đồ thị và công thức của một hàm số. Hiệu Δy không đổi cho hàm bậc nhất, hiệu bậc hai Δ²y không đổi cho hàm bậc hai, tỉ số giữa hai giá trị liên tiếp không đổi cho hàm mũ. Màn Bảng bí ẩn cho học sinh tự phân loại bảng (có bảng bước x không đều và bảng không thuộc loại nào), màn So sánh đặt hai hàm cho bằng hai cách khác nhau (bảng, công thức, lời) rồi tìm tung độ gốc, tốc độ thay đổi, điểm hoà vốn và chỗ hàm mũ vượt hàm bậc nhất, bậc hai.

Xem đồ thị và bảng tính chất của các hàm số cơ bản y = x, x², x³, √x, ∛x, |x|, 1/x, 1/x², xⁿ với n = p/q bất kì (cả n âm và n phân số), eˣ, ln x và hàm phần nguyên: tập xác định, tập giá trị, giao điểm với hai trục, tính chẵn lẻ, tiệm cận, khoảng đồng biến, nghịch biến và dáng điệu khi x dần tới biên. Màn So sánh vẽ chồng nhiều hàm (có chế độ so sánh x, x², x³ trên [0; 1]), màn Hàm từng khúc cho tự nhập hàm nhiều công thức và kiểm tra tính liên tục tại điểm nối, màn Đoán đồ thị là trò chơi nhận dạng.

Kéo, thêm, xoá điểm hoặc dán bảng số liệu hai biến và xem ngay hệ số tương quan Pearson r, hệ số hạng Spearman, đường hồi quy bình phương nhỏ nhất (y theo x và x theo y) cùng biểu đồ phần dư. Các màn khác cho thấy điểm đòn bẩy cao và điểm ảnh hưởng, rủi ro của ngoại suy, và biến ẩn làm mất hoặc đảo chiều tương quan.

Kéo a, b, c để đổi parabol y = ax² + bx + c và đọc ngay bảng xét dấu tương ứng. Mô phỏng tô xanh phần đồ thị nằm trên trục hoành, tô đỏ phần nằm dưới, nên thấy rõ vì sao dấu của f(x) chỉ phụ thuộc dấu của a và vị trí của Δ so với 0.

Hai hoặc ba tập hợp A, B, C vẽ bằng biểu đồ Ven trong tập U = {1; 2; …; N}, mỗi phần tử nằm đúng vùng của nó. Học sinh bấm nút phép toán (hợp, giao, hiệu, phần bù) hoặc bấm trực tiếp từng vùng để tô; danh sách phần tử và số phần tử n(·) của kết quả hiện ngay, kèm công thức n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).

Rót nước đều vào bình hình trụ, hình nón, bình cầu, cái bát hoặc bình tự thiết kế, hay theo dõi một chuyến đạp xe; học sinh kéo các điểm để phác đồ thị chiều cao – thời gian hoặc quãng đường – thời gian rồi so với đồ thị thật. Hình động chạy song song bình nước (hoặc xe đạp) với đồ thị, tô màu các khoảng đồng biến, nghịch biến, cong lên, cong xuống; bảng biến thiên và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất đọc ngay từ đồ thị, không cần đạo hàm.