Trung bình: chia đều và cân bằng

Bài Số trung bình, trung vị, mốt (chủ đề Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm, Toán 10) thường dạy trung bình cộng như một phép tính "cộng rồi chia", nhưng ý nghĩa hình học của nó — mức san đều và điểm cân bằng — dễ bị bỏ qua. Mô phỏng này dựng bốn màn hình cùng một khái niệm dưới bốn hình ảnh khác nhau để học sinh tự đối chiếu. Màn hình San bằng cho rót nước vào từng cốc rồi mở van nối các cốc: nước tự chảy tới khi mọi cốc trong cùng một nhóm nối liền có mực bằng nhau, đúng bằng trung bình cộng của nhóm đó, trong khi tổng thể tích không đổi trong suốt quá trình. Màn hình Chia kẹo chia lại kẹo nguyên viên giữa các đĩa bằng kéo thả, cho thấy khi tổng không chia hết thì phải có đĩa nhiều hơn đĩa khác một viên — trung bình khi đó là một số thập phân chứ không phải số kẹo thật trên đĩa nào. Màn hình Chia táo giải quyết đúng chỗ đó bằng cách cắt táo dư thành các phần bằng nhau, chia công bằng tuyệt đối và hiện kết quả dưới dạng hỗn số. Màn hình Điểm cân bằng đặt các điểm dữ liệu trên một trục số như những vật nhỏ trên một tấm ván; kéo điểm tựa tới đúng vị trí trung bình thì tổng độ lệch có dấu của các điểm bằng 0 và ván nằm ngang. Ví dụ đối chiếu: bốn cốc 2, 6, 4, 8 lít mở hết van sẽ san về đúng 5,00 lít mỗi cốc (tổng giữ nguyên 20 lít); 7 quả táo chia cho 3 đĩa cho mỗi đĩa 2 quả và 1/3 quả sau khi cắt; năm điểm dữ liệu 2, 3, 3, 5, 7 có trung bình 4,00 và đặt điểm tựa đúng tại đó thì tổng độ lệch (−2)+(−1)+(−1)+1+3 = 0. Câu hỏi gợi ý: – Vì sao tổng thể tích nước không đổi dù mực nước các cốc thay đổi liên tục khi san bằng? – Khi chia kẹo không hết, đại lượng nào phản ánh đúng số trung bình: số kẹo trên một đĩa cụ thể hay thương của phép chia? – Vì sao đặt điểm tựa lệch khỏi trung bình luôn làm tổng độ lệch có dấu khác 0?