Mô phỏng Toán Lớp 11

Kéo điểm M trên đường tròn lượng giác, điểm tương ứng chạy đồng bộ trên đồ thị y = sin x, cos x hoặc tan x. Đường y = m cắt đồ thị cho thấy nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản, các nghiệm được đánh dấu cả trên đường tròn lẫn đồ thị kèm công thức nghiệm tổng quát.

Vẽ hoặc sửa một đồ thị (đỉnh là vùng đất, cạnh là cây cầu) và xem ngay bậc của từng đỉnh, tổng bậc bằng hai lần số cạnh và kết luận theo số đỉnh bậc lẻ: có chu trình Euler, có đường đi Euler hay không có. Tự chạm từng cạnh để thử đi qua mỗi cạnh đúng một lần, hoặc cho thuật toán Fleury (tránh cầu) hay Hierholzer (ghép vòng) chạy từng bước để tìm đường.

Kéo điểm M trên vòng tròn lượng giác bán kính 1 để đổi góc lượng giác θ; tam giác tham chiếu và đoạn tang trên đường tiếp tuyến hiện ngay sin, cos, tan của θ. Góc đo bằng độ hoặc radian, tính cả số vòng quay khi kéo quá 360°/−360°. Đồ thị bên cạnh vẽ đúng hàm sin, cos hoặc tan theo góc với chấm chỉ thị chạy đồng bộ, kéo trực tiếp được trên đồ thị. Bật gắn góc đặc biệt để điểm tự hút vào 30°, 45°, 60°... và xem giá trị lượng giác đúng dạng căn thức. Phỏng theo mô phỏng "Trig Tour" của PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder (CC BY 4.0); đã viết lại.

Đồ thị y = aˣ và y = logₐx đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. Kéo điểm M trên đồ thị hàm mũ, điểm đối xứng M' chạy trên đồ thị hàm lôgarit; kéo thanh a để thấy hàm đồng biến khi a > 1, nghịch biến khi 0 < a < 1. Chế độ ứng dụng minh hoạ tăng trưởng dân số và phân rã phóng xạ, dùng lôgarit để tìm thời gian gấp đôi hoặc chu kỳ bán rã.

Hình hộp ABCD.A'B'C'D' xoay được bằng chuột hoặc ngón tay. Ba điểm M ∈ AB, N ∈ AD, P ∈ CC' kéo được dọc cạnh; mô phỏng dựng thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (MNP), tô màu đa giác thiết diện và chỉ ra các cặp giao tuyến song song trên hai mặt đối diện.

Chế độ dãy số: các điểm (n; uₙ) tiến về đường thẳng y = L, dải L ± ε kéo được cho thấy từ chỉ số N₀ trở đi mọi số hạng đều nằm trong dải. Chế độ hàm số: kéo điểm x tiến về x₀ từ hai phía, xem f(x) tiến về giới hạn trái/phải, nhận biết hàm gián đoạn hoặc không xác định tại x₀ và kết luận về tính liên tục.

Đồ thị y = ax² + bx + c với một điểm M chạy trên parabol. Kéo M bằng chuột hoặc ngón tay; tiếp tuyến tại M vẽ theo hệ số góc y'(x) = 2ax + b, hiện tọa độ M, hệ số góc và phương trình tiếp tuyến.

Vẽ số liệu thực tế trên trục thường, trục nửa lôgarit (log y theo x) và trục lôgarit – lôgarit (log y theo log x): y = a·bˣ thành đường thẳng trên trục nửa lôgarit, y = a·xⁿ thành đường thẳng trên trục lôgarit – lôgarit. Đọc hệ số góc và tung độ gốc để tìm a, b, n, tự kéo đường thẳng và xem phần dư. Màn Thang lôgarit so sánh độ lớn động đất, mức cường độ âm (dB) và pH, nơi các bước bằng nhau là các tỉ số bằng nhau.

Kéo góc trên đường tròn đơn vị và trên hình hai tam giác vuông chồng nhau để kiểm chứng sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = 1/cos²θ, 1 + cot²θ = 1/sin²θ, công thức cộng sin(α ± β), cos(α ± β), tan(α ± β) và công thức nhân đôi bằng hình và bằng số. Màn a cos θ + b sin θ gộp hai sóng thành R cos(θ − α) hoặc R sin(θ + α); màn Kiểm tra đẳng thức vẽ hai vế của một đẳng thức em nhập để xem nó có đúng với mọi x.

Hình chóp đều S.ABCD (hoặc S.ABC) xoay được bằng chuột hoặc ngón tay. Mô phỏng dựng hình chiếu của cạnh bên SA (hoặc trung đoạn SM) lên mặt đáy, tô góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, hiện tan của góc theo chiều cao và cạnh đáy; đồng thời dựng khoảng cách từ S đến đáy và từ tâm O đến mặt bên (SBC).

Kéo điểm P để đổi qua lại giữa toạ độ cực (r; θ) và toạ độ Descartes (x; y), xem các cách viết khác của cùng một điểm và dạng lượng giác của số phức. Vẽ đồ thị r = f(θ) (đường hoa hồng, ốc sên Pascal, đường hình tim, đường tròn, xoắn ốc Archimedes, lemniscate) khi θ quét dần, song song với đồ thị r theo θ, kèm dr/dθ, hệ số góc tiếp tuyến dy/dx và chỗ r tăng, r giảm. Màn diện tích tính ½∫r²dθ giữa hai tia và so với tổng các hình quạt tròn.

Chọn cơ số và số mũ, xem bᵐ·bⁿ, bᵐ ÷ bⁿ, (bᵐ)ⁿ khai triển thành các ô thừa số; các cặp b/b bị gạch đi để quy tắc tự hiện ra. Màn Số mũ 0 và âm chia dần cho b để thấy b⁰ = 1 và b⁻ⁿ = 1/bⁿ; màn Số mũ hữu tỉ vẽ y = x^(m/n) và nối b^(1/n) với căn bậc n; màn Luyện tập ra câu hỏi rút gọn và tính giá trị.

Hàm cho bằng hai nhánh, ghép tại x₀ và có tham số m điều chỉnh được. Mô phỏng tính giới hạn trái, giới hạn phải và giá trị f(x₀) rồi đối chiếu ba số đó, cho thấy hàm chỉ liên tục khi cả ba bằng nhau — kéo m để đồ thị từ chỗ đứt nối liền lại.

Chọn hoặc tự gõ đường cong F(x, y) = 0 (đường tròn, elip, x² + xy + y² = k, hypebol, lá Descartes, đường cong bậc ba hay phương trình của riêng em) rồi kéo điểm P trên đường cong để xem tiếp tuyến có hệ số góc dy/dx = −Fₓ/F_y tính bằng đạo hàm hàm ẩn. Mô phỏng đánh dấu các điểm có tiếp tuyến nằm ngang, thẳng đứng và điểm kì dị, cho biết dấu của d²y/dx², và một phép tham số hoá vẽ lại đúng đường cong đó.

Bắn hàng trăm viên đạn tử pháo với góc và tốc độ lệch ngẫu nhiên để tạo một mẫu số liệu tầm xa, rồi ghép nhóm thành bảng tần số và biểu đồ cột xếp chồng. Bốn màn hình: Biến thiên (bắn một lần, bắn nhanh hoặc liên tục, chỉnh độ lệch góc và tốc độ), Nguồn (ba pháo có độ phân tán khác nhau), Số đặc trưng (bảng tần số ghép nhóm, số trung bình, trung vị, tứ phân vị, mốt theo công thức nội suy của SGK Toán 11, đối chiếu với số liệu gốc, công cụ khoảng) và Lấy mẫu (phân phối của trung bình mẫu có độ lệch chuẩn σ/√n). Phỏng theo mô phỏng "Projectile Data Lab" của PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder (CC BY 4.0); đã viết lại.

Cộng dần các số hạng uₙ = u₁·qⁿ⁻¹ như những bước nhảy trên trục số (nghịch lí Zeno) và xem đồ thị tổng riêng Sₙ. Với |q| < 1, Sₙ tiến về S = u₁/(1 − q); với |q| ≥ 1 dãy tổng riêng phân kì. Kéo công bội q, số hạng đầu u₁, xem sai lệch |S − Sₙ| và số số hạng cần cộng.

Sinh một mẫu điểm kiểm tra thang 100 rồi ghép nhóm thành biểu đồ tần số. Học sinh đổi độ rộng nhóm, dạng phân phối, bấm vào từng cột để xem tần số và tần số tích luỹ; mô phỏng tính số trung bình, trung vị, mốt theo công thức ghép nhóm và so với giá trị tính từ số liệu gốc.

Chọn hàm số f rồi xem bảng giá trị và dấu của f trên một khoảng, phóng to dần để khoanh nghiệm, kèm các trường hợp phương pháp đổi dấu sai (tiệm cận đứng, nghiệm kép, hai nghiệm trong một bước). Chạy từng bước phương pháp chia đôi, phương pháp lặp xₙ₊₁ = g(xₙ) với hình bậc thang hoặc mạng nhện và điều kiện |g′(α)| < 1, và phương pháp Newton – Raphson với các tiếp tuyến, phương pháp Heron tính √a cùng các trường hợp thất bại; bảng lặp cho thấy tốc độ hội tụ.

Chọn hàm số (sin x, cos x, eˣ, ln(1 + x), 1/(1 − x), arctan x), tâm khai triển a và bậc n để xem đa thức Taylor bám dần vào đồ thị. Đồ thị sai số theo thang logarit có cận Lagrange, dải sai số ±ε và khoảng hội tụ được tô màu; bảng liệt kê đạo hàm f⁽ᵏ⁾(a) và từng số hạng. Màn Góc nhỏ so sánh sin θ ≈ θ, cos θ ≈ 1 − θ²/2 và tan θ ≈ θ cùng sai số tương đối theo θ tính bằng radian.

Ba chuyên đề học tập của Toán 11 trong một mẫu, chọn bằng tham số chuyên đề. Phép biến hình: kéo ba đỉnh của tam giác hoặc kéo vectơ tịnh tiến để thấy ảnh qua phép tịnh tiến, phép quay, phép vị tự và phép đối xứng trục cùng công thức toạ độ. Lí thuyết đồ thị: kéo các đỉnh, đếm bậc, xét bài toán bảy cây cầu Euler và bấm để máy tìm đường đi hoặc chu trình Euler, tô từng cạnh theo thứ tự đi. Vẽ kĩ thuật: xoay khối hình chữ L, chữ T hoặc khối có rãnh và xem ba hình chiếu vuông góc được dựng tự động.

Đồ thị các số hạng u₁…uₙ của cấp số cộng (điểm thẳng hàng) hoặc cấp số nhân (điểm nằm trên đường cong mũ). Bấm vào một cột để xem số hạng uₖ và tổng Sₖ tính bằng công thức; chế độ lãi suất so sánh lãi đơn (cấp số cộng) với lãi kép (cấp số nhân) qua từng kỳ.

Chọn cỡ m × n và các phần tử của hai ma trận A, B rồi xem A thuộc loại nào (hàng, cột, vuông, không, đường chéo, vô hướng, đơn vị, tam giác, đối xứng, phản xứng), so sánh A = B, tính A + B, A − B, kA và ma trận chuyển vị, tách ma trận vuông thành phần đối xứng và phần phản xứng. Màn nhân hai ma trận kiểm tra điều kiện về cỡ và tính AB theo từng hàng nhân cột, có ví dụ số liệu thật về bán hàng và dinh dưỡng.

Kéo hai điểm P, Q trên đồ thị để đọc tốc độ thay đổi trung bình (f(a + h) − f(a))/h, rồi cho h → 0 để thấy cát tuyến PQ dần thành tiếp tuyến và bảng tỉ số tiến tới f′(a). Hiện tiếp tuyến, pháp tuyến cùng phương trình, phóng to quanh P để thấy đồ thị gần như thẳng (xấp xỉ tuyến tính), tính đạo hàm bằng định nghĩa cho x² và x³, xét các điểm không có đạo hàm (|x|, ∛(x²), ∛x) và đọc vận tốc trung bình, vận tốc tức thời của vật ném lên.

Cho hình que diêm, ô vuông, khối lập phương lớn dần, ghi bảng số hạng và vẽ đồ thị; dùng hiệu thứ nhất, thứ hai, thứ ba để tìm số hạng tổng quát của dãy bậc nhất (an + b), bậc hai và bậc ba, kiểm tra một số có là số hạng của dãy, so sánh với dãy cấp số nhân và dãy kiểu Fibonacci. Màn Công thức truy hồi lặp uₙ₊₁ = f(uₙ) trên sơ đồ mạng nhện để thấy dãy tăng, giảm, hội tụ, tuần hoàn, và tính tổng N số hạng đầu bằng kí hiệu Σ.