Từ cát tuyến đến tiếp tuyến: định nghĩa đạo hàm

Bài Đạo hàm (Toán 11) định nghĩa f′(x₀) là giới hạn của tỉ số (f(x₀ + h) − f(x₀))/h khi h → 0, tức hệ số góc của cát tuyến dần thành hệ số góc của tiếp tuyến. Mô phỏng cho học sinh thấy trực tiếp quá trình giới hạn đó trên đồ thị, kèm ý nghĩa vật lí: vận tốc trung bình và vận tốc tức thời. Chọn hàm số (x², x³, sin x, eˣ, |x|, ∛(x²), ∛x hoặc chuyển động ném lên s(t) = 20t − 4,905t²), kéo P và Q trên đồ thị hoặc chỉnh h, rồi bấm "Cho h → 0": cát tuyến PQ xoay dần về tiếp tuyến, bảng tỉ số với h = ±1; ±0,1; ±0,01; ±0,001 tiến về f′(a). Bật tiếp tuyến, pháp tuyến để đọc phương trình; phóng to quanh P để thấy đồ thị gần như thẳng và sai số của xấp xỉ tuyến tính nhỏ hơn h rất nhiều. Với x² và x³ có lời giải tính đạo hàm bằng định nghĩa; với |x|, ∛(x²), ∛x tại 0 bảng cho thấy hai giới hạn một phía khác nhau hoặc vô hạn nên không có đạo hàm. Câu hỏi gợi ý: – Với f(x) = x² tại a = 1, các tỉ số trong bảng tiến tới số nào khi h nhỏ dần? – Vì sao |x| không có đạo hàm tại 0 dù đồ thị liền nét? – Vật ném lên có vận tốc tức thời bằng 0 vào lúc nào, khi đó tiếp tuyến nằm thế nào?