Đạo hàm hàm ẩn – tiếp tuyến của đường cong F(x, y) = 0

Thuộc chủ đề Đạo hàm (Toán 11): nhiều đường cong như đường tròn, elip hay lá Descartes không phải đồ thị của một hàm số y = f(x) mà cho bởi phương trình F(x, y) = 0. Gần phần lớn các điểm, phương trình ấy vẫn xác định y là hàm số của x (hàm ẩn); lấy đạo hàm hai vế theo x, dùng đạo hàm hàm hợp cho các số hạng chứa y, ta được hệ số góc tiếp tuyến dy/dx = −Fₓ/F_y. Mô phỏng vẽ đường cong bằng thuật toán marching squares và tính đạo hàm riêng bằng sai phân trung tâm, nên các số là giá trị gần đúng rất sát. Chọn đường tròn, elip, elip xoay x² + xy + y² = k, hypebol, lá Descartes, đường cong bậc ba y² = x³ − 3x + k hoặc tự gõ phương trình (bộ đọc hiểu x, y, k, các phép toán, lũy thừa và hàm sơ cấp), rồi đổi k bằng thanh trượt. Kéo điểm đỏ P trên đường cong để đọc Fₓ, F_y, dy/dx, phương trình tiếp tuyến và dấu của d²y/dx²; các điểm có tiếp tuyến nằm ngang (xanh lá), thẳng đứng (tím) và điểm kì dị (vòng cam) được tìm và đánh dấu. Khung bên trình bày từng bước lấy đạo hàm hàm ẩn; nút Vẽ bằng tham số cho điểm Q chạy theo x(t), y(t) để so y′(t)/x′(t) với −Fₓ/F_y. Câu hỏi gợi ý: – Trên x² + xy + y² = 3, tiếp tuyến nằm ngang tại những điểm nào? Giải hệ nào để tìm chúng? – Vì sao tại gốc O của lá Descartes x³ + y³ = 9xy không có một tiếp tuyến duy nhất? – Với đường tròn x² + y² = 9, vì sao dy/dx = −x/y không xác định tại (3; 0)?