Dãy số từ hình mẫu – bảng hiệu, số hạng tổng quát và công thức truy hồi

Mô phỏng thuộc chủ đề Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân (Toán 11): một dãy số có thể cho bằng công thức số hạng tổng quát (tính uₙ từ vị trí n) hoặc bằng công thức truy hồi (tính số hạng sau từ số hạng trước). Phương pháp hiệu giúp tìm số hạng tổng quát từ một hình mẫu: hiệu thứ nhất không đổi cho dãy bậc nhất an + b (cấp số cộng), hiệu thứ hai không đổi bằng k cho dãy bậc hai có hệ số của n² là k/2, hiệu thứ ba không đổi bằng k cho dãy bậc ba có hệ số của n³ là k/6. Cấp số nhân và dãy kiểu Fibonacci là ví dụ đối chiếu: các hiệu của chúng không bao giờ không đổi. Chọn hình mẫu que diêm, bậc thang ô vuông, lưới que diêm, khối lập phương, tam giác Sierpiński, hình vuông Fibonacci hoặc tự nhập dãy số; bấm Thêm hình tiếp theo để hình lớn dần, phần mới tô màu cam. Bảng hiệu hiện các hàng hiệu dưới dạng tam giác, hàng hiệu không đổi được tô xanh, kèm từng bước tìm số hạng tổng quát, công thức truy hồi và u₁₀₀. Tắt Hiện các hiệu để học sinh tự tính, nhập công thức an³ + bn² + cn + d của mình để đối chiếu, và kiểm tra một số bất kì có là số hạng của dãy không. Màn Truy hồi và tổng lặp uₙ₊₁ = a·uₙ + b, uₙ₊₁ = 1 − 1/uₙ hay uₙ₊₂ = uₙ₊₁ + uₙ trên sơ đồ mạng nhện, cho biết dãy tăng, giảm, hội tụ hay tuần hoàn, và tính tổng N số hạng đầu bằng kí hiệu Σ. Câu hỏi gợi ý: – Cần bao nhiêu que diêm để xếp 50 hình vuông thành một hàng, và có xếp được hình hoàn chỉnh từ đúng 100 que không? – Vì sao hiệu thứ hai của hình bậc thang không đổi, và điều đó cho biết gì về số hạng tổng quát? – Với những giá trị nào của a thì dãy uₙ₊₁ = a·uₙ + b hội tụ, và giới hạn bằng bao nhiêu?