Đa thức Taylor và Maclaurin – xấp xỉ hàm số

Đa thức Taylor bậc n của hàm số f tại tâm a là đa thức có cùng giá trị và cùng n đạo hàm đầu tiên với f tại a: Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)/2!·(x − a)² + … + f⁽ⁿ⁾(a)/n!·(x − a)ⁿ; khi a = 0 gọi là đa thức Maclaurin. Nội dung này mở rộng bài Đạo hàm cấp hai (Toán 11): tiếp tuyến chính là đa thức Taylor bậc 1, và càng dùng nhiều đạo hàm cấp cao thì đa thức càng bám sát đồ thị. Mô phỏng vẽ f và Pₙ cho sin x, cos x, eˣ, ln(1 + x), 1/(1 − x), arctan x, kèm đồ thị sai số |Rₙ(x)| theo thang logarit, cận Lagrange M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! và khoảng hội tụ của chuỗi Taylor (ln(1 + x) hội tụ khi −1 < x ≤ 1, 1/(1 − x) khi −1 < x < 1 với a = 0). Học sinh chọn hàm, kéo bậc n, tâm a và điểm x (hoặc kéo trực tiếp trên đồ thị), bấm "Tăng dần n" để xem đa thức tiến dần về đồ thị. Dải sai số ±ε và vạch xanh lá cho biết đoạn x nào có sai số nhỏ hơn ε; bảng liệt kê f⁽ᵏ⁾(a), hệ số f⁽ᵏ⁾(a)/k! và từng số hạng. Màn "Góc nhỏ" so sánh sin θ ≈ θ, cos θ ≈ 1 − θ²/2, tan θ ≈ θ với θ tính bằng radian và cho thấy sai số tương đối vượt 1 % ở khoảng 14° với sin, 10° với tan. Câu hỏi gợi ý: – Với sin x tại a = 0, cần bậc n nhỏ nhất bằng bao nhiêu để sai số tại x = 2 dưới 0,01? – Vì sao tăng bậc n lại làm xấp xỉ ln(1 + x) tại x = 1,5 tệ hơn? – Đến khoảng bao nhiêu độ thì sin θ ≈ θ còn sai số dưới 1 %?