Tìm nghiệm gần đúng: đổi dấu, chia đôi, phương pháp lặp và Newton – Raphson

Mô phỏng mở rộng chủ đề Hàm số liên tục (Toán 11) sang tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0. Nếu f liên tục trên [a; b] và f(a)·f(b) < 0 thì phương trình có nghiệm trong (a; b); từ đó có phương pháp đổi dấu (tìm kiếm thập phân) và phương pháp chia đôi. Phương pháp lặp viết f(x) = 0 thành x = g(x) và tính xₙ₊₁ = g(xₙ), hội tụ khi |g′(α)| < 1; phương pháp Newton – Raphson dùng tiếp tuyến xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ), trong đó có phương pháp Heron tính √a. Mười hàm số có sẵn, gồm cả các trường hợp phương pháp thất bại: tiệm cận đứng, nghiệm kép, hai nghiệm gần nhau. Màn Đổi dấu lập bảng giá trị với bước h, tô xanh khoảng đổi dấu có nghiệm và cảnh báo khi đổi dấu do tiệm cận hoặc khi bỏ sót nghiệm; nút Phóng to khoảng đổi dấu chia khoảng thành 10 phần để khoanh nghiệm tới số chữ số thập phân mong muốn. Màn Chia đôi, Phương pháp lặp và Newton – Raphson chạy từng bước (Bước tiếp, Chạy, Đến cuối, Lùi lại) với hình vẽ các khoảng lồng nhau, hình bậc thang hoặc mạng nhện, các tiếp tuyến, và bảng lặp có cột sai số để so sánh tốc độ hội tụ. Kéo a, b hoặc x₀ ngay trên hình. Câu hỏi gợi ý: – Vì sao 1/(x − 1) đổi dấu giữa 0,7 và 1,2 nhưng phương trình 1/(x − 1) = 0 vô nghiệm? – Cách viết x = g(x) nào của x³ − x − 1 = 0 cho dãy hội tụ, và giá trị g′(α) giải thích điều đó thế nào? – Vì sao phương pháp Newton với (x − 1)² hội tụ chậm hơn nhiều so với x³ − x − 1?