Mô phỏng Toán Lớp 12

Hệ trục Oxyz xoay được bằng chuột hoặc ngón tay với hai vectơ u và v có toạ độ cho trước. Mô phỏng vẽ hình hộp toạ độ của từng vectơ, hình bình hành tổng u + v, tính độ dài, tích vô hướng u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ và góc giữa hai vectơ; kéo các thanh toạ độ để thấy khi nào u ⊥ v hoặc cùng phương.

Bài toán xét nghiệm y khoa: tỉ lệ mắc bệnh, độ nhạy P(+|bệnh) và độ đặc hiệu P(−|khỏe) cho trước. Sơ đồ cây, bảng 2×2 trên N người và lưới 1000 chấm màu cho thấy vì sao xác suất thực sự mắc bệnh khi xét nghiệm dương tính P(bệnh|+) thường thấp hơn nhiều so với độ nhạy; kéo các thanh để thấy công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes thay đổi.

Trong hệ trục Oxyz xoay được, mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu tâm I bán kính R được vẽ cùng vectơ pháp tuyến n = (A; B; C) và đoạn vuông góc IH. Mô phỏng tính d(I, (P)) theo công thức khoảng cách rồi so với R để kết luận mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn (vẽ đường tròn giao, bán kính r = √(R² − d²)), tiếp xúc hay không cắt.

Hàm phân thức y = (ax + b)/(cx + d) hoặc y = (ax² + bx + c)/(x + d): kéo hệ số để xem tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên xuất hiện hay biến mất. Bảng giá trị khi x tiến tới nghiệm mẫu và khi x ra vô cực giải thích vì sao đó là tiệm cận.

Hai mẫu số liệu có cùng số trung bình nhưng độ phân tán khác nhau được ghép nhóm và vẽ chồng lên nhau. Kéo thanh σ của từng mẫu để thấy biểu đồ dẹt ra hay tập trung lại; mô phỏng tính khoảng biến thiên, tứ phân vị Q₁, Q₃, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn theo công thức ghép nhóm rồi so sánh hai mẫu.

Kéo để uốn đồ thị hàm số f(x) bằng các công cụ đồi, tam giác, parabol, hình sin, vẽ tự do, dịch và nghiêng, rồi xem đồ thị đạo hàm f′(x), đạo hàm cấp hai f″(x) và nguyên hàm F(x) = C + tích phân của f từ x₀ cập nhật ngay. Đường tham chiếu cho tiếp tuyến, giá trị f, f′, F và phần diện tích tô màu; màn thực hành cho học sinh tự vẽ dự đoán f′ hoặc F rồi so sánh với đáp án. Phỏng theo mô phỏng "Calculus Grapher" của PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder (CC BY 4.0); đã viết lại.

Diện tích hình thang cong dưới đồ thị y = f(x) trên [a; b] được xấp xỉ bằng n hình chữ nhật (trái, phải, giữa) hoặc hình thang. Tăng n bằng nút hoặc thanh trượt để thấy tổng Sₙ tiến về giá trị tích phân ∫f(x)dx tính bằng nguyên hàm; kéo hai mút a, b ngay trên đồ thị. Chọn hàm v(t) để thấy quãng đường đi được là tích phân của vận tốc.

Chọn phương trình dy/dx = f(x, y) (tăng, giảm theo hàm mũ, y′ = ay + b, tăng trưởng logistic, định luật làm lạnh Newton, x + y, xy, −x/y, x) để thấy trường hướng; bấm vào hình để vẽ nghiệm riêng qua điểm đó cùng công thức tách biến. Màn Phương pháp Euler đi từng bước với bước h, so với nghiệm đúng trong bảng sai số và khi giảm h một nửa. Màn Hệ hai phương trình dùng Euler cho hệ dx/dt, dy/dt (thú săn – con mồi, tâm, xoắn ốc, yên ngựa).

Chọn tỉ lệ tổng thể p và cỡ mẫu n, lấy hàng nghìn mẫu ngẫu nhiên và dựng biểu đồ của tỉ lệ mẫu p̂: tâm ở p, độ lệch chuẩn √(p(1 − p)/n), và gần phân phối chuẩn khi np ≥ 10 và n(1 − p) ≥ 10. Tính xác suất p̂ vượt một ngưỡng bằng mô phỏng, bằng phân phối chính xác và bằng xấp xỉ chuẩn; có cả tổng thể hữu hạn (điều kiện 10 %) và hiệu hai tỉ lệ mẫu p̂₁ − p̂₂.

Chọn hai đường và xem miền phẳng giữa chúng được tô. Mô phỏng chia miền bằng các dải hẹp để thấy ∫(f − g)dx chính là tổng diện tích các dải khi số dải tăng, đồng thời cảnh báo trường hợp hai đồ thị đổi vai trò trên–dưới trong đoạn nên phải tách tích phân theo dấu của f − g.

Quay miền phẳng giữa y = f(x) và y = g(x) quanh trục Ox, Oy hoặc đường thẳng y = k, x = k để tạo khối tròn xoay 3D. Khối được chia thành n đĩa, vành khăn hoặc vỏ trụ; tổng thể tích các lát tiến về V = π∫(R² − r²)dx khi n tăng, kèm lời giải bằng nguyên hàm. Chế độ mặt cắt dựng các lát hình vuông, nửa hình tròn, tam giác trên một miền đáy.

Kéo trung bình μ và độ lệch chuẩn σ của X ~ N(μ, σ²), tô vùng P(a < X < b) và đọc ngay xác suất, điểm z, bách phân vị, điểm uốn μ ± σ và quy tắc 68–95–99,7. Các màn khác tìm x khi biết xác suất (phân phối chuẩn ngược), so sánh hai giá trị bằng chuẩn hoá về N(0, 1), đặt đường cong chuẩn lên tổ chức đồ dữ liệu và lên phân phối nhị thức B(n, p).

Lấy hàng trăm mẫu ngẫu nhiên từ một tổng thể đã biết tham số và xem mỗi khoảng tin cậy p̂ ± z*·√(p̂(1 − p̂)/n), x̄ ± t*·s/√n hoặc x̄ ± z*·σ/√n có chứa tham số thật hay không. Tỉ lệ khoảng chứa tham số thay đổi theo mức tin cậy và cỡ mẫu; có cả khoảng tin cậy cho hiệu hai tỉ lệ. Màn Sai số biên cho thấy giá trị tới hạn z* và t*, sai số biên theo cỡ mẫu và cỡ mẫu cần thiết.

Dựng sơ đồ trạng thái (dân cư chuyển giữa các vùng, thị phần, thời tiết, khoá học có trạng thái hấp thụ) và ma trận chuyển tương ứng theo quy ước cột hoặc hàng. Nhân vectơ trạng thái từng bước sₙ₊₁ = T·sₙ, xem đồ thị hội tụ về trạng thái dừng, giải Ts = s và xem các luỹ thừa Tⁿ. Màn Ma trận kề đếm đường đi độ dài n giữa hai đỉnh bằng Aⁿ và dựng ma trận chuyển của bước đi ngẫu nhiên trên đồ thị.

Đồ thị y = ax³ + bx² + cx + d hoặc y = (ax + b)/(cx + d) vẽ cùng bảng biến thiên tự lập theo dấu của y'. Kéo điểm M trên đồ thị để thấy tiếp tuyến, dấu đạo hàm và khoảng đơn điệu đang xét; đổi hệ số để cực trị xuất hiện hoặc biến mất, tiệm cận đứng và ngang dịch chuyển theo hệ số.

Ba chuyên đề học tập của Toán 12 trong một mẫu, chọn bằng tham số chuyên đề. Biến ngẫu nhiên rời rạc: tung n đồng xu hàng nghìn lần, so cột tần suất thực nghiệm với bảng phân bố xác suất lí thuyết, tính kì vọng và phương sai. Ứng dụng toán học trong tài chính: so sánh lãi đơn với lãi kép A = P(1+r)^n và tính khoản trả góp hằng tháng của một khoản vay. Bài toán tối ưu: kéo cạnh ô vuông cắt ở bốn góc tấm bìa để gấp hộp không nắp, xem đồ thị thể tích V(x) = x(a−2x)² và tìm giá trị lớn nhất bằng đạo hàm.

Gieo xúc xắc cân đối hoặc lệch, mở túi kẹo nhiều màu hay tự nhập tần số rồi kiểm định với các tỉ lệ đã cho; hoặc sửa bảng hai chiều để kiểm định tính độc lập, tính thuần nhất. Tần số kì vọng, từng số hạng (O − E)²/E, χ², bậc tự do, đường cong khi bình phương tô giá trị p và giá trị tới hạn ở mức ý nghĩa đã chọn dẫn tới kết luận, kèm cảnh báo khi có tần số kì vọng nhỏ hơn 5.

Đường thẳng r = a + λb trong hệ trục Oxyz xoay được (2D hoặc 3D): kéo điểm P(λ) dọc đường thẳng, đọc phương trình tham số và chính tắc. Hai đường thẳng được xếp loại cắt nhau, song song, trùng nhau hay chéo nhau kèm lời giải từng bước (cho hai vế bằng nhau, giải hai phương trình, thử phương trình thứ ba), góc giữa hai đường thẳng, giao điểm và khoảng cách ngắn nhất. Thêm chân đường vuông góc từ một điểm, giao điểm và góc với mặt phẳng, và chế độ chuyển động thẳng đều r = a + tv tìm thời điểm hai vật gần nhau nhất.

Đặt giả thuyết H₀, đối thuyết H₁ (một phía hoặc hai phía) và mức ý nghĩa α cho kiểm định nhị thức, Poisson, kiểm định tỉ lệ hoặc kiểm định trung bình (z hoặc t), rồi xem phân phối khi H₀ đúng với miền bác bỏ và giá trị p được tô màu. Màn Sai lầm và lực thêm phân phối theo giá trị thật để thấy sai lầm loại I, sai lầm loại II, lực kiểm định và đường cong lực thay đổi theo n và độ lệch; mô phỏng lặp lại kiểm định để ước lượng các tỉ lệ sai lầm.

Rút hàng nghìn lần từ hai phân phối độc lập (xúc xắc, bảng giá trị hoặc phân phối chuẩn) để dựng X + Y, X − Y, aX + b, aX + bY, tổng hoặc trung bình của k bản sao, rồi so biểu đồ với phân phối chính xác và các quy tắc E(aX + b) = aE(X) + b, V(aX + b) = a²V(X), E(X ± Y) = E(X) ± E(Y), V(X ± Y) = V(X) + V(Y). Có các tình huống thực tế (tổng khối lượng bưu kiện, hiệu thời gian chạy, đổi °C sang °F, thang máy) và màn ước lượng so sánh phương sai chia cho n với chia cho n − 1 và khoảng biến thiên của mẫu.

Chọn một trong ba hàm vị trí s(t), vận tốc v(t) hoặc gia tốc a(t) (đa thức, lượng giác, hàm mũ, kể cả gia tốc thay đổi) và xem chất điểm chạy trên đường thẳng cùng ba đồ thị s–t, v–t, a–t gắn với nhau bằng đạo hàm và tích phân. Mô phỏng tô diện tích dưới đồ thị v để tách độ dời ∫v dt với quãng đường ∫|v| dt, đánh dấu lúc vật dừng và đổi chiều, cho biết khi nào vật nhanh dần hay chậm dần.