Khảo sát hàm bậc ba và hàm phân thức: đạo hàm, cực trị, bảng biến thiên, tiệm cận

Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (Toán 12) quy về một chuỗi: xét dấu y', lập bảng biến thiên, tìm cực trị, tiệm cận rồi vẽ đồ thị. Học sinh chọn hàm bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d hoặc phân thức y = (ax + b)/(cx + d) và đổi các hệ số. Bảng biến thiên tự lập theo dấu y'. Kéo điểm M trên đồ thị để thấy tiếp tuyến: hệ số góc dương khi hàm đồng biến, âm khi nghịch biến, bằng 0 tại cực trị. Đổi hệ số để y' = 0 có hai nghiệm, nghiệm kép hoặc vô nghiệm – hai cực trị xuất hiện rồi biến mất. Với hàm phân thức, tiệm cận đứng và ngang dịch chuyển theo hệ số, và hàm luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định. Câu hỏi gợi ý: – Điều kiện nào của a, b, c để hàm bậc ba có hai cực trị? – y' = 0 tại x₀ có chắc x₀ là cực trị không? – Vì sao hàm (ax + b)/(cx + d) không có cực trị?