Thể tích khối tròn xoay – đĩa, vành khăn, vỏ trụ và mặt cắt

Bài Ứng dụng hình học của tích phân (Toán 12) tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), y = g(x), x = a, x = b quanh một trục: V = π∫(R² − r²)dx. Mô phỏng dựng khối trong không gian 3D và chia khối thành n lát mỏng là đĩa tròn, vành khăn hoặc vỏ trụ, để thấy tổng thể tích các lát tiến về giá trị tích phân khi n tăng. Chế độ mặt cắt đã biết dựng vật thể có mặt cắt vuông góc với Ox là hình vuông, nửa hình tròn hoặc tam giác trên một miền đáy. Học sinh chọn hai đường (căn x, đường thẳng, parabol, nửa đường tròn, hình sin, hàm mũ, đường cong bình hoa), kéo hai cận a, b, chọn trục quay Ox, Oy hoặc đường thẳng y = k, x = k và cách chia lát. Nút Quay miền 360° cho thấy miền phẳng quét thành khối; thanh Lát đang xem cho đọc R, r và thể tích một lát; khung thông tin ghi lời giải bằng nguyên hàm và giá trị đúng dạng phân số nhân π. Các nút Bình hoa, Cái bát, Quả cầu, Hình nón, Vành khăn nạp sẵn ví dụ từ vật thật; chế độ 2D vẽ hình phẳng, hình đối xứng của nó qua trục và các lát. Câu hỏi gợi ý: – Quay miền dưới y = x/2 trên [0; 4] quanh Ox được hình nón nào? So sánh V với công thức ⅓πr²h. – Khi quay miền giữa y = x/2 và y = x²/4 quanh Ox, vì sao phải trừ đi π∫r²dx? – Với cái bát, chia lát bằng vỏ trụ và bằng vành khăn nằm ngang có cho cùng thể tích không?