Phương trình vi phân – trường hướng, nghiệm riêng và phương pháp Euler

Mô phỏng mở rộng chủ đề Nguyên hàm và tích phân (Toán 12) sang phương trình vi phân cấp một dy/dx = f(x, y). Trường hướng vẽ ở mỗi điểm một đoạn ngắn có hệ số góc f(x, y); đường nghiệm luôn tiếp xúc với các đoạn này. Mỗi phương trình có nghiệm đúng tìm bằng tách biến (hoặc thừa số tích phân với dy/dx = x + y): tăng, giảm theo hàm mũ, y′ = ay + b, tăng trưởng logistic, định luật làm lạnh Newton dT/dt = −k(T − Tₐ), dy/dx = xy, dy/dx = −x/y và dy/dx = x. Ở màn Trường hướng, bấm vào hình để chọn điều kiện đầu: mô phỏng vẽ nghiệm riêng qua điểm đó, ghi nghiệm tổng quát, hằng số C, các nghiệm cân bằng và tính ổn định; có thể bật đường đẳng tà dy/dx = 0. Màn Phương pháp Euler cho đi từng bước yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ), bảng ghi xₙ, yₙ, nghiệm đúng và sai số, kèm so sánh khi giảm h một nửa. Màn Hệ hai phương trình áp dụng Euler cho hệ dx/dt, dy/dt trên mặt phẳng pha và so với nghiệm tính bằng RK4. Câu hỏi gợi ý: – Với dy/dx = x + y và y(0) = 1, vì sao Euler luôn cho giá trị nhỏ hơn nghiệm đúng? – Khi giảm bước h một nửa, sai số của phương pháp Euler thay đổi thế nào? – Với hệ x′ = y, y′ = −x, vì sao đường Euler xoắn ra ngoài thay vì khép kín?