Chuỗi Markov và ma trận chuyển – trạng thái dừng, ma trận kề đếm đường đi

Mô phỏng thuộc chủ đề Xác suất có điều kiện (Toán 12) và mở rộng sang chuỗi Markov: một hệ chuyển giữa các trạng thái theo từng bước, trạng thái kế tiếp chỉ phụ thuộc trạng thái hiện tại. Mỗi phần tử của ma trận chuyển là một xác suất có điều kiện P(bước sau ở i | hiện ở j), và phép nhân ma trận với vectơ trạng thái chính là công thức xác suất toàn phần: sₙ₊₁ = T·sₙ (quy ước cột, mỗi cột có tổng 1) hoặc sₙ₊₁ = sₙ·P (quy ước hàng, mỗi hàng có tổng 1). Bốn tình huống: thời tiết nắng – mưa, thị phần ba hãng, dân cư chuyển giữa thành phố, ngoại ô và nông thôn, và một khoá học có hai trạng thái hấp thụ (hoàn thành, bỏ học). Chọn tình huống và quy ước, sửa xác suất trong bảng hoặc chạm vào một mũi tên trên sơ đồ trạng thái rồi kéo thanh trượt; phần tử đường chéo tự đổi để tổng vẫn bằng 1. Nhập vectơ ban đầu s₀, bấm Bước tiếp để xem phép nhân T·sₙ hiện đầy đủ và các chấm chạy theo mũi tên, hoặc bấm Chạy để xem đồ thị sₙ theo n tiến về đường nét đứt của trạng thái lâu dài. Phần thông tin giải Ts = s, cho biết chuỗi có chính quy, tuần hoàn hay có trạng thái hấp thụ, hiện các luỹ thừa Tⁿ và ma trận giới hạn. Màn Ma trận kề cho thấy (Aⁿ)ᵢⱼ là số đường đi độ dài n giữa hai đỉnh, liệt kê và chạy từng đường đi, rồi dựng ma trận chuyển của bước đi ngẫu nhiên trên đồ thị. Câu hỏi gợi ý: – Dân số lâu dài của mỗi vùng có phụ thuộc vào số người ban đầu ở từng vùng không? – Trong tình huống khoá học, bao nhiêu phần trăm học viên cuối cùng hoàn thành, và muốn tăng tỉ lệ đó thì đổi xác suất nào? – Vì sao bước đi ngẫu nhiên trên hình vuông không bao giờ ổn định, còn trên hình diều thì có?