Đường cong tham số – vận tốc, dy/dx và độ dài cung

Thuộc chủ đề Đạo hàm (Toán 11, Chương trình GDPT 2018), phần ý nghĩa vật lí và hình học của đạo hàm: một điểm chuyển động trên mặt phẳng theo phương trình tham số x = x(t), y = y(t), coi t là thời gian. Đạo hàm x′(t), y′(t) cho vectơ vận tốc, đạo hàm cấp hai cho vectơ gia tốc, còn tiếp tuyến của quỹ đạo có hệ số góc dy/dx = y′/x′. Mô phỏng tính đạo hàm bằng sai phân trung tâm và độ dài cung bằng quy tắc Simpson nên các số là giá trị gần đúng rất sát; chuyển động ném xiên lấy g = 9,81 m/s² và bỏ qua sức cản không khí. Chọn đường cong mẫu (đường thẳng, đường tròn, elip, ném xiên, Lissajous, cycloid) hoặc tự gõ x(t), y(t) và khoảng t; bộ đọc biểu thức hiểu t, a, b, các hàm lượng giác, mũ, lôgarit và hằng số g. Kéo điểm đỏ P hay thanh trượt t, hoặc bấm Chạy để thấy vectơ vận tốc (xanh lá), gia tốc (tím) và tiếp tuyến thay đổi; đồ thị phụ vẽ x(t), y(t) theo t. Bảng số liệu cho phương trình theo x, y sau khi khử t, độ dài cung L, quãng đường và độ dời, cùng độ dài đường gấp khúc n đoạn tiến dần tới L khi n tăng. Câu hỏi gợi ý: – Trên đường tròn, vì sao vectơ gia tốc luôn vuông góc với vectơ vận tốc? – Tại những điểm nào của elip tiếp tuyến thẳng đứng, khi đó dy/dx thế nào? – Với cycloid, cần bao nhiêu đoạn gấp khúc để Lₙ kém độ dài cung chưa tới 1 %?