Tốc độ biến thiên liên quan – thang trượt, bồn hình nón, sóng tròn, bóng bay và bóng người

Bài toán tốc độ biến thiên liên quan hỏi: biết một đại lượng thay đổi nhanh thế nào, đại lượng liên hệ với nó thay đổi nhanh thế nào? Cách giải là viết hệ thức giữa các đại lượng, đạo hàm hai vế theo thời gian t bằng quy tắc đạo hàm hàm hợp, rồi thay số tại đúng thời điểm cần xét. Mô phỏng có năm tình huống kinh điển: thang trượt dọc tường (x² + y² = L²), bơm nước vào bồn hình nón đặt ngược (V = πR²h³/(3H²)), sóng tròn lan trên mặt hồ (A = πr²), bơm bóng bay (V = 4πr³/3) và người đi xa cột đèn (tam giác đồng dạng). Học sinh chọn tình huống, đặt tốc độ cho trước bằng thanh trượt (dx/dt, dV/dt hoặc dr/dt) cùng kích thước như chiều dài thang, bán kính và chiều cao bồn, chiều cao cột đèn, rồi bấm Chạy hoặc kéo thanh Thời điểm. Ba đồng hồ cho tốc độ cho trước và hai tốc độ suy ra, hai đồ thị theo t cho đại lượng và tốc độ suy ra, còn bảng bên dưới viết từng bước hệ thức, đạo hàm theo t, rút ra và thay số tại thời điểm đang xem. Ô Kiểm tra bằng Δ/Δt so kết quả với tỉ số thay đổi trong 0,001 s tiếp theo. Câu hỏi gợi ý: – Chân thang trượt ra đều, vì sao đỉnh thang lại tụt xuống ngày càng nhanh? – Bơm nước đều vào bồn hình nón, khi mực nước tăng gấp đôi thì dh/dt thay đổi thế nào? – Vì sao tốc độ đầu bóng của người không phụ thuộc người đang đứng xa hay gần cột đèn?