Ma trận 2 × 2 và phép biến hình – định thức, phép hợp thành, nghịch đảo, vectơ riêng

Mô phỏng thuộc chuyên đề Phép biến hình trong mặt phẳng (Toán 11) và mở rộng sang ma trận: mỗi ma trận 2 × 2 M biến điểm x thành x′ = Mx, hai cột của M chính là ảnh của hai vectơ đơn vị (1; 0) và (0; 1). Phép quay, phép đối xứng qua đường thẳng qua gốc, phép vị tự, phép trượt, phép co dãn và phép chiếu đều có ma trận riêng; thêm vectơ t ta có x′ = Mx + t, gồm cả phép tịnh tiến. Định thức det M = ad − bc là hệ số nhân diện tích có dấu: |det M| cho biết diện tích ảnh gấp bao nhiêu lần, det M < 0 nghĩa là hình bị lật, det M = 0 nghĩa là mặt phẳng bị ép thành một đường thẳng và M không có nghịch đảo. Ở màn Phép biến hình, chọn ma trận mẫu hoặc nhập bốn phần tử, kéo đầu mũi tên î′, ĵ′ và điểm P, bấm Diễn hoạt để xem lưới biến dạng dần từ I đến M, rồi bấm Đưa về bằng M⁻¹. Màn Hợp thành chọn hai phép A và B, so sánh “A rồi B” (ma trận BA) với “B rồi A” (AB), kèm det(BA) = det B · det A và (BA)⁻¹ = A⁻¹B⁻¹. Màn Nghịch đảo và hệ phương trình giải AX = B bằng X = A⁻¹B, vẽ hai đường thẳng (theo hàng) hoặc tổ hợp hai vectơ cột (theo cột), phân biệt hệ vô nghiệm và vô số nghiệm khi det A = 0, và giải cả hệ ba ẩn. Màn Vectơ riêng quét một vectơ v quanh gốc để tìm lúc Mv cùng phương với v, giải phương trình đặc trưng, chéo hoá M = PDP⁻¹ và tính Mⁿ = PDⁿP⁻¹. Câu hỏi gợi ý: – Ma trận nào làm diện tích chữ F tăng gấp 3 lần mà vẫn không lật hình, và ma trận nào lật hình mà giữ nguyên diện tích? – Quay 90° rồi đối xứng qua trục Ox có cho cùng kết quả với đối xứng qua trục Ox rồi quay 90° không? Mỗi cách ứng với phép biến hình đơn nào? – Vì sao nhân ma trận chuyển nhiều lần với một vectơ bất kì lại làm vectơ đó ngả về phương của một vectơ riêng?