(Trường chuyên Hòa Bình năm 2023-2024)

Từ giả thiết $a (a - 1) + b (b - 1) = a b \Rightarrow a^{2} + b^{2} - (a + b) = a b$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} = a b + a + b$

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b \Rightarrow a b + a + b \geq 2 a b \Rightarrow a + b \geq a b (1)$

Lại có: $a b + a + b + 8 = (a^{2} + 4) + (b^{2} + 4) \geq 4 a + 4 b = 4 (a + b)$

$\Rightarrow a b + 8 \geq 3 (a + b) \geq 3 a b (d o (1))$

$\Rightarrow a b \leq 4$ .

Đặt $t = \sqrt{a b} \Rightarrow 0 < t \leq 2 \Rightarrow \frac{2}{t} \geq 1 \Rightarrow \frac{4}{t^{2}} \geq 1$ .

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

$F = \frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{a} + 2023 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) + \frac{4}{a b} \geq 2 \sqrt{\frac{a^{2}}{b} . \frac{b^{2}}{a}} + 2023.2 \sqrt{\frac{1}{a b}} + \frac{4}{a b} = 2 t + 4046 . \frac{1}{t} + \frac{4}{t^{2}}$

$F \geq 2 t + \frac{8}{t} + 2019 \cdot \frac{2}{t} + \frac{4}{t^{2}}$ .

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có $2 t + \frac{8}{t} \geq 2 \sqrt{2 t . \frac{8}{t}} = 8$

$\Rightarrow F \geq 8 + 2019 + 1 = 2028$ . Vậy $m i n F = 2028$ , đạt khi $a = b = 2$ .

Chuyên 10- Bất đẳng thức, cực trị - 2