Câu 1: (Trường chuyên Đại Học Vinh năm 2023-2024) Xét các số thực không âm a , b , c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 1 a + 1 + 1 b + 1 + 1 c + 2 .
Câu 1: (Trường chuyên Đại Học Vinh năm 2023-2024) Xét các số thực không âm a , b , c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 1 a + 1 + 1 b + 1 + 1 c + 2 .
Câu 2: (Trường chuyên tỉnh Bình Phước năm 2023-2024) Cho a , b , c là các số dương. Chứng minh: b c 2 a + b + c + c a 2 b + c + a + a b 2 c + a + b ≤ a + b + c 4 .
Câu 3:
Câu 4: (Trường chuyên tỉnh Đắk Lắk năm 2023-2024) Cho các số thực x , y , z , t thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x y + x z + x t + y z + y t + 3 z t .
Câu 5: (Trường chuyên Hòa Bình năm 2023-2024) Từ giả thiết a ( a − 1 ) + b ( b − 1 ) = a b ⇒ a 2 + b 2 − ( a + b ) = a b ⇒ a 2 + b 2 = a b + a + b Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: a 2 + b 2 ≥ 2 a b ⇒ a b + a + b ≥ 2 a b ⇒ a + b ≥ a b ( 1 ) Lại có: a b + a + b + 8 = ( a 2 + 4 ) + ( b 2 + 4 ) ≥ 4 a + 4 b = 4 ( a + b ) ⇒ a b + 8 ≥ 3 ( a + b ) ≥ 3 a b ( d o ( 1 ) ) ⇒ a b ≤ 4 . Đặt t = a b ⇒ 0 < t ≤ 2 ⇒ 2 t ≥ 1 ⇒ 4 t 2 ≥ 1 . Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: F = a 2 b + b 2 a + 2 0 2 3 ( 1 a + 1 b ) + 4 a b ≥ 2 a 2 b . b 2 a + 2 0 2 3 . 2 1 a b + 4 a b = 2 t + 4 0 4 6 . 1 t + 4 t 2 F ≥ 2 t + 8 t + 2 0 1 9 ⋅ 2 t + 4 t 2 . Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có 2 t + 8 t ≥ 2 2 t . 8 t = 8 ⇒ F ≥ 8 + 2 0 1 9 + 1 = 2 0 2 8 . Vậy m i n F = 2 0 2 8 , đạt khi a = b = 2 .
Câu 6: (Trường chuyên Nam Định năm 2023-2024) Cho các số thực x ; y ; z thỏa mãn 0 ≤ x , y , z ≤ 4 . Chứng minh rằng: x 2 y + y 2 x + z 2 x + 1 6 ≥ x y 2 + y z 2 + z x 2
Câu 7: (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2023-2024) Với các số thực dương a , b , c thay đổi thoả mãn a b c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a 2 ( 1 + 8 a 3 ) ( 1 + 8 b 3 ) + b 2 ( 1 + 8 b 3 ) ( 1 + 8 c 3 ) + c 2 ( 1 + 8 c 3 ) ( 1 + 8 a 3 )
Câu 8: (Trường chuyên Vĩnh Phúc năm 2022-2023) 1. Cho ba số thực dương a , b , c thoả mãn a b + b c + c a = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 2 a 1 + a 2 + b 1 + b 2 + c 1 + c 2 2. Cho ba số thực không âm a , b , c thoả mãn a b + b c + c a + a b c ≤ 4 . Chứng minh rằng a + b + c ≥ a b + b c + c a .
Câu 9: (Trường chuyên toán T.P Hà Nội năm 2023-2024) Với các số thực không âm a , b và c thỏa mãn a + 2 b + 3 c = 1 , tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( a + 6 b + 6 c ) ( a + b + c ) .
Câu 10: (Trường chuyên Vĩnh Long năm 2023-2024) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2 + 1 0 x 2 + 9