Ta có:

$z^{2} - z + 1 - i = (z^{2} - 2 z + 2) + (z - 1 - i)$

$= (z - 1 - i) (z - 1 + i) + (z - 1 - i) = (z - 1 - i) (z + i)$ .

Mặt khác $\{\begin{array}{l} | z - 1 - i | \geq 2 \\ | z^{2} - z + 1 - i | \leq 4 \end{array}\} (*) \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} | z - 1 - i | \geq 2 \\ | (z - 1 - i) (z + i) | \leq 4 \end{array}\} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} | z - 1 - i | \geq 2 \\ | z + 1 | \leq 2 \end{array}\} (* *)$

Xét $| z - 1 - i | \geq 2$ có tập hợp điểm biểu diễn số phức z là miền ngoài hình tròn (kể cả biên) $(C_{1})$ có $I_{1} (1; 1)$ , $R_{1} = 2$ .

Xét $| z + i | \leq 2$ có tập hợp điểm biểu diễn số phức z là miền trong hình tròn (kể cả biên) $(C_{2})$ có $I_{2} (0; - 1)$ , $R_{2} = 2$ .

$\Rightarrow$ Tất cả các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $(* *)$ là miền tô đậm như hình vẽ.

Do đó có 10 điểm có tọa độ nguyên thỏa mãn $(* *)$ là:

$(- 2; - 1)$ , $(- 1; 0)$ , $(- 1; - 1)$ , $(- 1; - 2)$ , $(0; - 1)$ , $(0; - 2)$ , $(0; - 3)$ , $(1; - 1)$ , $(1; - 2)$ , $(2; - 1)$ .

Thử lại vào điều kiện $(*)$ ta được 5 điểm thoả mãn là:

$(- 1; 0)$ , $(- 1; - 1)$ , $(0; - 1)$ , $(0; - 2)$ , $(1; - 1)$ . Vậy có tất cả 5 số phức z thỏa mãn đề bài.

ĐỀ KTTD ĐHBK HÀ NỘI ĐỀ 8