Câu 1: (Trường chuyên Hải Dương năm 2023-2024) Cho a , b , c là các số không âm và không có hai số nào đồng thời bằng 0 . Chứng minh rằng: 1 a 2 + b 2 + 1 b 2 + c 2 + 1 c 2 + a 2 ≥ 1 0 ( a + b + c ) 2
Câu 1: (Trường chuyên Hải Dương năm 2023-2024) Cho a , b , c là các số không âm và không có hai số nào đồng thời bằng 0 . Chứng minh rằng: 1 a 2 + b 2 + 1 b 2 + c 2 + 1 c 2 + a 2 ≥ 1 0 ( a + b + c ) 2
Câu 2: (Trường chuyên tỉnh Ninh Bình năm 2022-2023) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh a b 3 + 1 + b c 3 + 1 + c a 3 + 1 ≥ 2
Câu 3:
Câu 4: (Trường chuyên Long An năm 2023-2024) Cho a ≥ 0 , b ≥ 0 thỏa mãn 2 a + 3 b ≤ 6 và 2 a + b ≤ 4 . Chứng minh rằng: − 2 2 9 ≤ a 2 − 2 a − b ≤ 0 .
Câu 5: (Trường chuyên Tin T.P Hà Nội năm 2023-2024) Với các số thực a , b và c thoả mãn ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) = ( a − 1 ) ( b − 1 ) ( c − 1 ) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = | a | + | b | + | c | .
Câu 6: (Trường chuyên tỉnh Hà Nam năm 2023-2024) Cho a , b , c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 1 5 a 2 + 2 a b + 2 b 2 + 1 5 b 2 + 2 b c + 2 c 2 + 1 5 c 2 + 2 c a + 2 a 2 .
Câu 7: (Trường chuyên Hải Phòng năm 2023-2024) Cho các số thực a , b , c thoả mãn a + b + c = 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2 a − 1 a 2 + 2 + 2 b − 1 b 2 + 2 + 2 c − 1 c 2 + 2 ⋅
Câu 8: (Trường chuyên Thái Bình năm 2023-2024) Cho 3 số thực dương x,y,z thoả mãn x y + y z + z x = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 2 x 1 + x 2 + y y 2 + 1 + z z 2 + 1 − x 2 − 2 8 y 2 − 2 8 z 2
Câu 9: (Trường chuyên Hưng Yên năm 2023-2024) Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca = 3abc. Tìm giá trị lớn nhất của biểuthức T = a 3 b 2 c 2 + a b c + b 3 a 2 c 2 + a b c + c 3 a 2 b 2 + a b c
Câu 10: (Trường chuyên tỉnh Cao Bằng năm 2023-2024) Với a , b , c là ba số thực dương, chứng minh rằng: a 2 3 a 2 + 8 b 2 + 1 4 a b + b 2 3 b 2 + 8 c 2 + 1 4 b c + c 2 3 c 2 + 8 a 2 + 1 4 c a ≥ a + b + c 5 .