Câu 1: (Trường chuyên T.P Hồ Chí Minh năm 2022-2023) Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn 1 + 4 x y + 2 x + 2 y + 2 z = 5 a) Chứng minh 1 ( 2 x + 1 ) ( 2 y + 1 ) + 1 2 z + 1 ≥ 2 3 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + 1 2 x + 1 + y + 1 2 y + 1 + 2 z + 3 4 z + 2 .
Câu 2: (Trường chuyên Toán Phú Thọ năm 2022-2023) Xét các số thực dương a , b , c ; Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = a a 2 + 9 b c + b b 2 + 9 a c + c c 2 + 9 a b .
Câu 3: (Trường chuyên Tây Ninh năm 2023-2024) Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c ≥ 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 1 6 ( 1 9 a + 2 2 b + 2 5 c ) + 2 ( 5 a + 6 b + 7 c ) .
Câu 4: (Trường chuyên tỉnh Nghệ An năm 2023-2024) Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a , b , c ≥ 1 và a 2 + 4 b 2 + c 2 + 2 a b + 1 2 = 3 ( a + 5 b + c ) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = a 2 a + ( a + b ) 2 + a 2 a + c 2
Câu 5: (Trường chuyên tỉnh Bến Tre năm 2023-2024) Cho số thực x thỏa mãn 0 < x < 1 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 − x 1 − 2 x + 1 + 2 x 3 x
Câu 6: (Trường chuyên Tiền Giang năm 2023-2024) Cho hai số thực x và y thỏa mãn x > 1 , y > 1 a) Chứng minh rằng x x − 1 ≥ 2 . b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x 2 y − 1 + y 2 x − 1
Câu 7: (Trường chuyên Quốc Học Huế năm 2023-2024) Cho hai số thực dương a , b thỏa mãn 4 a 2 + b 2 = 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = 4 a 2 + b + b 1 + a + 2 0 2 4 2 a + b .
Câu 8: (Trường chuyên Hà Tĩnh năm 2023-2024) Cho các số thực a , b , c thỏa mãn a > b > c ; a b + b c + c a > 0 và a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 a − b + 1 b − c + 1 a − c + 5 2 a b + b c + c a .
Câu 9: (Trường chuyên Sơn La năm 2023-2024) Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = x y z . Chứng minh rằng: 1 + 1 + x 2 x + 1 + 1 + y 2 y + 1 + z 2 z ≤ x y z .
Câu 10: (Trường chuyên Khánh Hòa năm 2023-2024) a) Chứng minh ( x − 1 ) 2 + ( y − 1 ) 2 + ( z − 1 ) 2 ≥ 2 ( x + y − 2 ) ( z − 1 ) , với mọi x , y , z ∈ ℝ . b) Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi x , y , z ∈ ℝ k [ ( x − 1 ) 2 + ( y − 1 ) 2 + ( z − 1 ) 2 ] ≥ | ( x + y − 2 ) ( z − 1 ) . |